Ολοκλήρωμα της $$$e^{\frac{x}{a}}$$$ ως προς $$$x$$$

Βρείτε $$$\int e^{\frac{x}{a}}\, dx$$$.

Έστω $$$u=\frac{x}{a}$$$.

Τότε $$$du=\left(\frac{x}{a}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{a}$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$dx = a du$$$.

Το ολοκλήρωμα μπορεί να επαναγραφεί ως

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x}{a}} d x}}} = {\color{red}{\int{a e^{u} d u}}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ με $$$c=a$$$ και $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{a e^{u} d u}}} = {\color{red}{a \int{e^{u} d u}}}$$

Το ολοκλήρωμα της εκθετικής συνάρτησης είναι $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$a {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = a {\color{red}{e^{u}}}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=\frac{x}{a}$$$:

$$a e^{{\color{red}{u}}} = a e^{{\color{red}{\frac{x}{a}}}}$$

Επομένως,

$$\int{e^{\frac{x}{a}} d x} = a e^{\frac{x}{a}}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{e^{\frac{x}{a}} d x} = a e^{\frac{x}{a}}+C$$

$$$\int e^{\frac{x}{a}}\, dx = a e^{\frac{x}{a}} + C$$$A