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Mögliche und tatsächliche rationale Nullstellen von $$$f{\left(x \right)} = x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$
Ihre Eingabe
Bestimme die rationalen Nullstellen von $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15 = 0$$$.
Lösung
Da alle Koeffizienten ganzzahlig sind, können wir den Satz über rationale Nullstellen anwenden.
Der Schlusskoeffizient (der Koeffizient des konstanten Glieds) ist $$$-15$$$.
Finde die Faktoren (mit dem Pluszeichen und dem Minuszeichen): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 15$$$.
Dies sind die möglichen Werte für $$$p$$$.
Der Leitkoeffizient (der Koeffizient des Terms höchsten Grades) ist $$$1$$$.
Bestimme seine Faktoren (mit Plus- und Minuszeichen): $$$\pm 1$$$.
Dies sind die möglichen Werte für $$$q$$$.
Finden Sie alle möglichen Werte von $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{5}{1}$$$, $$$\pm \frac{15}{1}$$$.
Vereinfache und entferne Duplikate (falls vorhanden).
Dies sind die möglichen rationalen Nullstellen: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 15$$$.
Als Nächstes prüfen Sie die möglichen Nullstellen: Wenn $$$a$$$ eine Nullstelle des Polynoms $$$P{\left(x \right)}$$$ ist, sollte der Rest bei der Division von $$$P{\left(x \right)}$$$ durch $$$x - a$$$ gleich $$$0$$$ sein (nach dem Restwertsatz bedeutet dies, dass $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Überprüfe $$$1$$$: Teile $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ durch $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = -32$$$; daher ist der Rest $$$-32$$$.
Überprüfe $$$-1$$$: Teile $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ durch $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$; daher ist der Rest $$$0$$$.
Somit ist $$$-1$$$ eine Nullstelle.
Überprüfe $$$3$$$: Teile $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ durch $$$x - 3$$$.
$$$P{\left(3 \right)} = -48$$$; daher ist der Rest $$$-48$$$.
Überprüfe $$$-3$$$: Teile $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ durch $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$.
$$$P{\left(-3 \right)} = 0$$$; daher ist der Rest $$$0$$$.
Somit ist $$$-3$$$ eine Nullstelle.
Überprüfe $$$5$$$: Teile $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ durch $$$x - 5$$$.
$$$P{\left(5 \right)} = 0$$$; daher ist der Rest $$$0$$$.
Somit ist $$$5$$$ eine Nullstelle.
Überprüfe $$$-5$$$: Teile $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ durch $$$x - \left(-5\right) = x + 5$$$.
$$$P{\left(-5 \right)} = -80$$$; daher ist der Rest $$$-80$$$.
Überprüfe $$$15$$$: Teile $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ durch $$$x - 15$$$.
$$$P{\left(15 \right)} = 2880$$$; daher ist der Rest $$$2880$$$.
Überprüfe $$$-15$$$: Teile $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ durch $$$x - \left(-15\right) = x + 15$$$.
$$$P{\left(-15 \right)} = -3360$$$; daher ist der Rest $$$-3360$$$.
Antwort
Mögliche rationale Nullstellen: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 15$$$A.
Tatsächliche rationale Nullstellen: $$$-1$$$, $$$-3$$$, $$$5$$$A.