$$$f{\left(x \right)} = x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ için olası ve bulunan rasyonel kökler

$$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15 = 0$$$ polinomunun rasyonel köklerini bulun.

Tüm katsayılar tamsayı olduğundan, rasyonel kökler teoremini uygulayabiliriz.

Son katsayı (sabit terimin katsayısı) $$$-15$$$ değerine eşittir.

Onun çarpanlarını (artı ve eksi işaretleriyle) bulun: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 15$$$.

Bunlar $$$p$$$ için olası değerlerdir.

Baş katsayı (en yüksek dereceli terimin katsayısı) $$$1$$$.

Çarpanlarını bulun (artı ve eksi işaretleriyle): $$$\pm 1$$$.

Bunlar $$$q$$$ için olası değerlerdir.

$$$\frac{p}{q}$$$ için tüm olası değerleri bulun: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{5}{1}$$$, $$$\pm \frac{15}{1}$$$.

Sadeleştirin ve varsa yinelenenleri kaldırın.

Bunlar olası rasyonel köklerdir: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 15$$$.

Ardından, olası kökleri kontrol edin: $$$a$$$, $$$P{\left(x \right)}$$$ polinomunun bir kökü ise, $$$P{\left(x \right)}$$$'nin $$$x - a$$$'a bölümünden kalan $$$0$$$ olmalıdır (Kalan Teoremi'ne göre bu, $$$P{\left(a \right)} = 0$$$ anlamına gelir).

• $$$1$$$'i kontrol et: $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$'yi $$$x - 1$$$ ile böl.

  $$$P{\left(1 \right)} = -32$$$; dolayısıyla, kalan $$$-32$$$’dir.

• $$$-1$$$'i kontrol et: $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$'yi $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$ ile böl.

  $$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$; dolayısıyla, kalan $$$0$$$’dir.

  Dolayısıyla, $$$-1$$$ bir köktür.

• $$$3$$$'i kontrol et: $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$'yi $$$x - 3$$$ ile böl.

  $$$P{\left(3 \right)} = -48$$$; dolayısıyla, kalan $$$-48$$$’dir.

• $$$-3$$$'i kontrol et: $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$'yi $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$ ile böl.

  $$$P{\left(-3 \right)} = 0$$$; dolayısıyla, kalan $$$0$$$’dir.

  Dolayısıyla, $$$-3$$$ bir köktür.

• $$$5$$$'i kontrol et: $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$'yi $$$x - 5$$$ ile böl.

  $$$P{\left(5 \right)} = 0$$$; dolayısıyla, kalan $$$0$$$’dir.

  Dolayısıyla, $$$5$$$ bir köktür.

• $$$-5$$$'i kontrol et: $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$'yi $$$x - \left(-5\right) = x + 5$$$ ile böl.

  $$$P{\left(-5 \right)} = -80$$$; dolayısıyla, kalan $$$-80$$$’dir.

• $$$15$$$'i kontrol et: $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$'yi $$$x - 15$$$ ile böl.

  $$$P{\left(15 \right)} = 2880$$$; dolayısıyla, kalan $$$2880$$$’dir.

• $$$-15$$$'i kontrol et: $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$'yi $$$x - \left(-15\right) = x + 15$$$ ile böl.

  $$$P{\left(-15 \right)} = -3360$$$; dolayısıyla, kalan $$$-3360$$$’dir.

Olası rasyonel kökler: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 15$$$A.

Bulunan rasyonel kökler: $$$-1$$$, $$$-3$$$, $$$5$$$A.