|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Πιθανές και υπαρκτές ρητές ρίζες του $$$f{\left(x \right)} = x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$
Η είσοδός σας
Βρείτε τις ρητές ρίζες του $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15 = 0$$$.
Λύση
Εφόσον όλοι οι συντελεστές είναι ακέραιοι, μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα των ρητών ριζών.
Ο καταληκτικός συντελεστής (ο συντελεστής του σταθερού όρου) είναι $$$-15$$$.
Βρείτε τους παράγοντες του (με το συν και το πλην): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 15$$$.
Αυτές είναι οι δυνατές τιμές για $$$p$$$.
Ο κύριος συντελεστής (ο συντελεστής του όρου με τον μεγαλύτερο βαθμό) είναι $$$1$$$.
Βρείτε τους παράγοντές του (με το πρόσημο συν και το πρόσημο μείον): $$$\pm 1$$$.
Αυτές είναι οι δυνατές τιμές για $$$q$$$.
Βρείτε όλες τις δυνατές τιμές για $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{5}{1}$$$, $$$\pm \frac{15}{1}$$$.
Απλοποιήστε και αφαιρέστε τα διπλότυπα (αν υπάρχουν).
Αυτές είναι οι πιθανές ρητές ρίζες: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 15$$$.
Στη συνέχεια, ελέγξτε τις πιθανές ρίζες: αν το $$$a$$$ είναι ρίζα του πολυωνύμου $$$P{\left(x \right)}$$$, το υπόλοιπο από τη διαίρεση του $$$P{\left(x \right)}$$$ με το $$$x - a$$$ πρέπει να ισούται με $$$0$$$ (σύμφωνα με το θεώρημα του υπολοίπου, αυτό σημαίνει ότι $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Ελέγξτε $$$1$$$: διαιρέστε το $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ με τον $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = -32$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$-32$$$.
Ελέγξτε $$$-1$$$: διαιρέστε το $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ με τον $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$0$$$.
Επομένως, το $$$-1$$$ είναι ρίζα.
Ελέγξτε $$$3$$$: διαιρέστε το $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ με τον $$$x - 3$$$.
$$$P{\left(3 \right)} = -48$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$-48$$$.
Ελέγξτε $$$-3$$$: διαιρέστε το $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ με τον $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$.
$$$P{\left(-3 \right)} = 0$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$0$$$.
Επομένως, το $$$-3$$$ είναι ρίζα.
Ελέγξτε $$$5$$$: διαιρέστε το $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ με τον $$$x - 5$$$.
$$$P{\left(5 \right)} = 0$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$0$$$.
Επομένως, το $$$5$$$ είναι ρίζα.
Ελέγξτε $$$-5$$$: διαιρέστε το $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ με τον $$$x - \left(-5\right) = x + 5$$$.
$$$P{\left(-5 \right)} = -80$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$-80$$$.
Ελέγξτε $$$15$$$: διαιρέστε το $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ με τον $$$x - 15$$$.
$$$P{\left(15 \right)} = 2880$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$2880$$$.
Ελέγξτε $$$-15$$$: διαιρέστε το $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ με τον $$$x - \left(-15\right) = x + 15$$$.
$$$P{\left(-15 \right)} = -3360$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$-3360$$$.
Απάντηση
Πιθανές ρητές ρίζες: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 15$$$A.
Πραγματικές ρητές ρίζες: $$$-1$$$, $$$-3$$$, $$$5$$$A.