$$$f{\left(x \right)} = x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ 的可能有理根與實際有理根

求 $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15 = 0$$$ 的有理零點。

由於所有係數皆為整數，我們可以應用有理根定理。

尾係數（常數項的係數）為 $$$-15$$$。

求其因數（包含正號與負號）：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 15$$$。

以下是 $$$p$$$ 的可能取值。

首項係數（最高次項的係數）為 $$$1$$$。

求其因數（含正負號）：$$$\pm 1$$$

這些是 $$$q$$$ 的可能取值。

求$$$\frac{p}{q}$$$的所有可能取值：$$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{5}{1}$$$, $$$\pm \frac{15}{1}$$$。

化簡並去除重複項（若有）。

這些是可能的有理根：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 15$$$。

接著，檢查可能的根：如果$$$a$$$是多項式$$$P{\left(x \right)}$$$的根，則將$$$P{\left(x \right)}$$$除以$$$x - a$$$的餘數應等於$$$0$$$（根據餘式定理，這意味著$$$P{\left(a \right)} = 0$$$）。

• 檢查 $$$1$$$：將 $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ 除以 $$$x - 1$$$。

  $$$P{\left(1 \right)} = -32$$$；因此，餘數為 $$$-32$$$。

• 檢查 $$$-1$$$：將 $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ 除以 $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$。

  $$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$；因此，餘數為 $$$0$$$。

  因此，$$$-1$$$ 是一個根。

• 檢查 $$$3$$$：將 $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ 除以 $$$x - 3$$$。

  $$$P{\left(3 \right)} = -48$$$；因此，餘數為 $$$-48$$$。

• 檢查 $$$-3$$$：將 $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ 除以 $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$。

  $$$P{\left(-3 \right)} = 0$$$；因此，餘數為 $$$0$$$。

  因此，$$$-3$$$ 是一個根。

• 檢查 $$$5$$$：將 $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ 除以 $$$x - 5$$$。

  $$$P{\left(5 \right)} = 0$$$；因此，餘數為 $$$0$$$。

  因此，$$$5$$$ 是一個根。

• 檢查 $$$-5$$$：將 $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ 除以 $$$x - \left(-5\right) = x + 5$$$。

  $$$P{\left(-5 \right)} = -80$$$；因此，餘數為 $$$-80$$$。

• 檢查 $$$15$$$：將 $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ 除以 $$$x - 15$$$。

  $$$P{\left(15 \right)} = 2880$$$；因此，餘數為 $$$2880$$$。

• 檢查 $$$-15$$$：將 $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ 除以 $$$x - \left(-15\right) = x + 15$$$。

  $$$P{\left(-15 \right)} = -3360$$$；因此，餘數為 $$$-3360$$$。

可能的有理根：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 15$$$A。

實際的有理根：$$$-1$$$, $$$-3$$$, $$$5$$$A。