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$$$f{\left(x \right)} = x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ の可能な有理根と実際の有理根
入力内容
$$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15 = 0$$$ の有理根を求めよ。
解答
すべての係数が整数であるため、有理根の定理を適用できます。
トレーリング係数（定数項の係数）は $$$-15$$$ です。
その因数（正負の符号も含めて）を求めよ: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 15$$$.
これらは$$$p$$$の取り得る値です。
首項係数（最高次の項の係数）は $$$1$$$ です。
その因数（正負の符号付き）を求めよ: $$$\pm 1$$$。
$$$q$$$の取り得る値は次のとおりです。
$$$\frac{p}{q}$$$ の取り得るすべての値を求めよ: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{5}{1}$$$, $$$\pm \frac{15}{1}$$$.
簡略化し、（もしあれば）重複を削除する。
可能な有理根は次のとおりです: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 15$$$
次に、可能な根を確認します：$$$a$$$ が多項式 $$$P{\left(x \right)}$$$ の根であるなら、$$$P{\left(x \right)}$$$ を $$$x - a$$$ で割ったときの余りは $$$0$$$ になるはずです（剰余定理 によれば、これは $$$P{\left(a \right)} = 0$$$ を意味します）。
$$$1$$$ を検算：$$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ を $$$x - 1$$$ で割る。
$$$P{\left(1 \right)} = -32$$$; したがって、余りは$$$-32$$$です。
$$$-1$$$ を検算：$$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ を $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$ で割る。
$$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$; したがって、余りは$$$0$$$です。
したがって、$$$-1$$$ は根である。
$$$3$$$ を検算：$$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ を $$$x - 3$$$ で割る。
$$$P{\left(3 \right)} = -48$$$; したがって、余りは$$$-48$$$です。
$$$-3$$$ を検算：$$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ を $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$ で割る。
$$$P{\left(-3 \right)} = 0$$$; したがって、余りは$$$0$$$です。
したがって、$$$-3$$$ は根である。
$$$5$$$ を検算：$$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ を $$$x - 5$$$ で割る。
$$$P{\left(5 \right)} = 0$$$; したがって、余りは$$$0$$$です。
したがって、$$$5$$$ は根である。
$$$-5$$$ を検算：$$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ を $$$x - \left(-5\right) = x + 5$$$ で割る。
$$$P{\left(-5 \right)} = -80$$$; したがって、余りは$$$-80$$$です。
$$$15$$$ を検算：$$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ を $$$x - 15$$$ で割る。
$$$P{\left(15 \right)} = 2880$$$; したがって、余りは$$$2880$$$です。
$$$-15$$$ を検算：$$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ を $$$x - \left(-15\right) = x + 15$$$ で割る。
$$$P{\left(-15 \right)} = -3360$$$; したがって、余りは$$$-3360$$$です。
解答
可能な有理根: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 15$$$A.
実際の有理根: $$$-1$$$, $$$-3$$$, $$$5$$$A.