|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Möjliga och faktiska rationella rötter till $$$f{\left(x \right)} = x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$
Din inmatning
Hitta de rationella rötterna till $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15 = 0$$$.
Lösning
Eftersom alla koefficienter är heltal kan vi tillämpa satsen om rationella rötter.
Den sista koefficienten (koefficienten till konstanttermen) är $$$-15$$$.
Bestäm dess faktorer (med både plus- och minustecken): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 15$$$.
Detta är de möjliga värdena för $$$p$$$.
Den ledande koefficienten (koefficienten för termen av högst grad) är $$$1$$$.
Hitta dess faktorer (med plustecknet och minustecknet): $$$\pm 1$$$.
Detta är de möjliga värdena för $$$q$$$.
Bestäm alla möjliga värden för $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{5}{1}$$$, $$$\pm \frac{15}{1}$$$.
Förenkla och ta bort dubbletter (om några).
Här är de möjliga rationella rötterna: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 15$$$.
Kontrollera därefter de möjliga rötterna: om $$$a$$$ är en rot till polynomet $$$P{\left(x \right)}$$$, ska resten vid divisionen av $$$P{\left(x \right)}$$$ med $$$x - a$$$ vara lika med $$$0$$$ (enligt restteoremet innebär detta att $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Kontrollera $$$1$$$: dividera $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ med $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = -32$$$; således är resten $$$-32$$$.
Kontrollera $$$-1$$$: dividera $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ med $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$; således är resten $$$0$$$.
Alltså är $$$-1$$$ en rot.
Kontrollera $$$3$$$: dividera $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ med $$$x - 3$$$.
$$$P{\left(3 \right)} = -48$$$; således är resten $$$-48$$$.
Kontrollera $$$-3$$$: dividera $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ med $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$.
$$$P{\left(-3 \right)} = 0$$$; således är resten $$$0$$$.
Alltså är $$$-3$$$ en rot.
Kontrollera $$$5$$$: dividera $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ med $$$x - 5$$$.
$$$P{\left(5 \right)} = 0$$$; således är resten $$$0$$$.
Alltså är $$$5$$$ en rot.
Kontrollera $$$-5$$$: dividera $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ med $$$x - \left(-5\right) = x + 5$$$.
$$$P{\left(-5 \right)} = -80$$$; således är resten $$$-80$$$.
Kontrollera $$$15$$$: dividera $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ med $$$x - 15$$$.
$$$P{\left(15 \right)} = 2880$$$; således är resten $$$2880$$$.
Kontrollera $$$-15$$$: dividera $$$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$$$ med $$$x - \left(-15\right) = x + 15$$$.
$$$P{\left(-15 \right)} = -3360$$$; således är resten $$$-3360$$$.
Svar
Möjliga rationella rötter: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 15$$$A.
Faktiska rationella rötter: $$$-1$$$, $$$-3$$$, $$$5$$$A.