$$$2 x e^{x^{2}}$$$ 的積分

求$$$\int 2 x e^{x^{2}}\, dx$$$。

令 $$$u=x^{2}$$$。

則 $$$du=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx = 2 x dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$x dx = \frac{du}{2}$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{2 x e^{x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = {\color{red}{e^{u}}}$$

回顧一下 $$$u=x^{2}$$$：

$$e^{{\color{red}{u}}} = e^{{\color{red}{x^{2}}}}$$

因此，

$$\int{2 x e^{x^{2}} d x} = e^{x^{2}}$$

加上積分常數：

$$\int{2 x e^{x^{2}} d x} = e^{x^{2}}+C$$

$$$\int 2 x e^{x^{2}}\, dx = e^{x^{2}} + C$$$A