Ολοκλήρωμα του $$$2 x e^{x^{2}}$$$

Βρείτε $$$\int 2 x e^{x^{2}}\, dx$$$.

Έστω $$$u=x^{2}$$$.

Τότε $$$du=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx = 2 x dx$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$x dx = \frac{du}{2}$$$.

Το ολοκλήρωμα μπορεί να επαναγραφεί ως

$${\color{red}{\int{2 x e^{x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}$$

Το ολοκλήρωμα της εκθετικής συνάρτησης είναι $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = {\color{red}{e^{u}}}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=x^{2}$$$:

$$e^{{\color{red}{u}}} = e^{{\color{red}{x^{2}}}}$$

Επομένως,

$$\int{2 x e^{x^{2}} d x} = e^{x^{2}}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{2 x e^{x^{2}} d x} = e^{x^{2}}+C$$

$$$\int 2 x e^{x^{2}}\, dx = e^{x^{2}} + C$$$A