Intégrale de $$$2 x e^{x^{2}}$$$

Déterminez $$$\int 2 x e^{x^{2}}\, dx$$$.

Soit $$$u=x^{2}$$$.

Alors $$$du=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx = 2 x dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$x dx = \frac{du}{2}$$$.

L’intégrale devient

$${\color{red}{\int{2 x e^{x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$${\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = {\color{red}{e^{u}}}$$

Rappelons que $$$u=x^{2}$$$ :

$$e^{{\color{red}{u}}} = e^{{\color{red}{x^{2}}}}$$

Par conséquent,

$$\int{2 x e^{x^{2}} d x} = e^{x^{2}}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{2 x e^{x^{2}} d x} = e^{x^{2}}+C$$

$$$\int 2 x e^{x^{2}}\, dx = e^{x^{2}} + C$$$A