Integralen av $$$2 x e^{x^{2}}$$$

Bestäm $$$\int 2 x e^{x^{2}}\, dx$$$.

Låt $$$u=x^{2}$$$ vara.

Då $$$du=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx = 2 x dx$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$x dx = \frac{du}{2}$$$.

Integralen blir

$${\color{red}{\int{2 x e^{x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}$$

Integralen av den exponentiella funktionen är $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = {\color{red}{e^{u}}}$$

Kom ihåg att $$$u=x^{2}$$$:

$$e^{{\color{red}{u}}} = e^{{\color{red}{x^{2}}}}$$

Alltså,

$$\int{2 x e^{x^{2}} d x} = e^{x^{2}}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{2 x e^{x^{2}} d x} = e^{x^{2}}+C$$

$$$\int 2 x e^{x^{2}}\, dx = e^{x^{2}} + C$$$A