$$$2 x e^{x^{2}}$$$の積分

$$$\int 2 x e^{x^{2}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=x^{2}$$$ とする。

すると $$$du=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx = 2 x dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$x dx = \frac{du}{2}$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{2 x e^{x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$${\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = {\color{red}{e^{u}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=x^{2}$$$:

$$e^{{\color{red}{u}}} = e^{{\color{red}{x^{2}}}}$$

したがって、

$$\int{2 x e^{x^{2}} d x} = e^{x^{2}}$$

積分定数を加える:

$$\int{2 x e^{x^{2}} d x} = e^{x^{2}}+C$$

$$$\int 2 x e^{x^{2}}\, dx = e^{x^{2}} + C$$$A