Hauptnormaleneinheitsvektor für $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t, \frac{t^{2}}{2}, t^{2}\right\rangle$$$

Bestimmen Sie den Einheits-Hauptnormalenvektor für $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t, \frac{t^{2}}{2}, t^{2}\right\rangle$$$.

Um den Einheits-Hauptnormalenvektor zu finden, müssen wir die Ableitung des Einheits-Tangentenvektors $$$\mathbf{\vec{T}\left(t\right)}$$$ bestimmen und sie anschließend normieren (den Einheitsvektor finden).

Finde den Einheits-Tangentenvektor: $$$\mathbf{\vec{T}\left(t\right)} = \left\langle \frac{1}{\sqrt{5 t^{2} + 1}}, \frac{t}{\sqrt{5 t^{2} + 1}}, \frac{2 t}{\sqrt{5 t^{2} + 1}}\right\rangle$$$ (für die Schritte siehe Einheits-Tangentenvektor-Rechner).

$$$\mathbf{\vec{T}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle - \frac{5 t}{\left(5 t^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}, \frac{1}{\left(5 t^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}, \frac{2}{\left(5 t^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}\right\rangle$$$ (für die Rechenschritte siehe Ableitungsrechner).

Bestimme den Einheitsvektor: $$$\mathbf{\vec{N}\left(t\right)} = \left\langle - \frac{\sqrt{5} t}{\sqrt{5 t^{2} + 1}}, \frac{\sqrt{5}}{5 \sqrt{5 t^{2} + 1}}, \frac{2 \sqrt{5}}{5 \sqrt{5 t^{2} + 1}}\right\rangle$$$ (für die Schritte siehe Einheitsvektor-Rechner).

Der Einheits-Hauptnormalenvektor ist $$$\mathbf{\vec{N}\left(t\right)} = \left\langle - \frac{\sqrt{5} t}{\sqrt{5 t^{2} + 1}}, \frac{\sqrt{5}}{5 \sqrt{5 t^{2} + 1}}, \frac{2 \sqrt{5}}{5 \sqrt{5 t^{2} + 1}}\right\rangle.$$$A