Κύριο μοναδιαίο κανονικό διάνυσμα για $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t, \frac{t^{2}}{2}, t^{2}\right\rangle$$$

Βρείτε το κύριο μοναδιαίο κανονικό διάνυσμα για $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t, \frac{t^{2}}{2}, t^{2}\right\rangle$$$.

Για να βρούμε το κύριο μοναδιαίο κανονικό διάνυσμα, πρέπει να βρούμε την παράγωγο του μοναδιαίου εφαπτομενικού διανύσματος $$$\mathbf{\vec{T}\left(t\right)}$$$ και στη συνέχεια να την κανονικοποιήσουμε (να βρούμε το μοναδιαίο διάνυσμα).

Βρείτε το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα: $$$\mathbf{\vec{T}\left(t\right)} = \left\langle \frac{1}{\sqrt{5 t^{2} + 1}}, \frac{t}{\sqrt{5 t^{2} + 1}}, \frac{2 t}{\sqrt{5 t^{2} + 1}}\right\rangle$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μοναδιαίου εφαπτόμενου διανύσματος).

$$$\mathbf{\vec{T}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle - \frac{5 t}{\left(5 t^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}, \frac{1}{\left(5 t^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}, \frac{2}{\left(5 t^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}\right\rangle$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής παραγώγων).

Βρείτε το μοναδιαίο διάνυσμα: $$$\mathbf{\vec{N}\left(t\right)} = \left\langle - \frac{\sqrt{5} t}{\sqrt{5 t^{2} + 1}}, \frac{\sqrt{5}}{5 \sqrt{5 t^{2} + 1}}, \frac{2 \sqrt{5}}{5 \sqrt{5 t^{2} + 1}}\right\rangle$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μοναδιαίου διανύσματος).

Το κύριο μοναδιαίο κανονικό διάνυσμα είναι $$$\mathbf{\vec{N}\left(t\right)} = \left\langle - \frac{\sqrt{5} t}{\sqrt{5 t^{2} + 1}}, \frac{\sqrt{5}}{5 \sqrt{5 t^{2} + 1}}, \frac{2 \sqrt{5}}{5 \sqrt{5 t^{2} + 1}}\right\rangle.$$$A