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Vecteur normal principal unitaire de $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t, \frac{t^{2}}{2}, t^{2}\right\rangle$$$
Calculatrices associées: Calculateur de vecteur tangent unitaire, Calculatrice du vecteur binormal unitaire
Votre saisie
Trouver le vecteur normal principal unitaire pour $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t, \frac{t^{2}}{2}, t^{2}\right\rangle$$$.
Solution
Pour trouver le vecteur normal principal unitaire, il faut calculer la dérivée du vecteur tangent unitaire $$$\mathbf{\vec{T}\left(t\right)}$$$, puis la normaliser (le rendre unitaire).
Trouvez le vecteur tangent unitaire : $$$\mathbf{\vec{T}\left(t\right)} = \left\langle \frac{1}{\sqrt{5 t^{2} + 1}}, \frac{t}{\sqrt{5 t^{2} + 1}}, \frac{2 t}{\sqrt{5 t^{2} + 1}}\right\rangle$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de vecteur tangent unitaire).
$$$\mathbf{\vec{T}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle - \frac{5 t}{\left(5 t^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}, \frac{1}{\left(5 t^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}, \frac{2}{\left(5 t^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}\right\rangle$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées).
Trouvez le vecteur unitaire : $$$\mathbf{\vec{N}\left(t\right)} = \left\langle - \frac{\sqrt{5} t}{\sqrt{5 t^{2} + 1}}, \frac{\sqrt{5}}{5 \sqrt{5 t^{2} + 1}}, \frac{2 \sqrt{5}}{5 \sqrt{5 t^{2} + 1}}\right\rangle$$$ (pour les étapes, voir calculateur de vecteur unitaire).
Réponse
Le vecteur normal unitaire principal est $$$\mathbf{\vec{N}\left(t\right)} = \left\langle - \frac{\sqrt{5} t}{\sqrt{5 t^{2} + 1}}, \frac{\sqrt{5}}{5 \sqrt{5 t^{2} + 1}}, \frac{2 \sqrt{5}}{5 \sqrt{5 t^{2} + 1}}\right\rangle.$$$A