Egenskaper hos ellipsen $$$2 x^{2} + 9 y^{2} = 18$$$

Bestäm centrum, brännpunkter, storaxelns ändpunkter, lillaxelns ändpunkter, storaxelns längd, storhalvaxelns längd, lillaxelns längd, lillhalvaxelns längd, area, omkrets, latera recta, latera rectas längd (fokalbredd), fokalparameter, excentricitet, linjär excentricitet (fokalavstånd), direktriser, skärningspunkter med x-axeln, skärningspunkter med y-axeln, definitionsmängd och värdemängd för ellipsen $$$2 x^{2} + 9 y^{2} = 18$$$.

Ekvationen för en ellips är $$$\frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} + \frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} = 1$$$, där $$$\left(h, k\right)$$$ är centrum, $$$a$$$ och $$$b$$$ är längderna på den stora respektive den lilla semiaxeln.

Vår ellips i denna form är $$$\frac{\left(x - 0\right)^{2}}{9} + \frac{\left(y - 0\right)^{2}}{2} = 1$$$.

Således, $$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 3$$$, $$$b = \sqrt{2}$$$.

Standardformen är $$$\frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y^{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}} = 1$$$.

Toppunktsformen är $$$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{2} = 1$$$.

Den allmänna formen är $$$2 x^{2} + 9 y^{2} - 18 = 0$$$.

Den linjära excentriciteten (brännpunktsavståndet) är $$$c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{7}$$$.

Excentriciteten är $$$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{7}}{3}$$$.

Den första brännpunkten är $$$\left(h - c, k\right) = \left(- \sqrt{7}, 0\right)$$$.

Den andra brännpunkten är $$$\left(h + c, k\right) = \left(\sqrt{7}, 0\right)$$$.

Den första hörnpunkten är $$$\left(h - a, k\right) = \left(-3, 0\right)$$$.

Det andra hörnet är $$$\left(h + a, k\right) = \left(3, 0\right)$$$.

Den första medtoppunkten är $$$\left(h, k - b\right) = \left(0, - \sqrt{2}\right)$$$.

Den andra medtoppunkten är $$$\left(h, k + b\right) = \left(0, \sqrt{2}\right)$$$.

Längden på huvudaxeln är $$$2 a = 6$$$.

Lillaxelns längd är $$$2 b = 2 \sqrt{2}$$$.

Arean är $$$\pi a b = 3 \sqrt{2} \pi$$$.

Omkretsen är $$$4 a E\left(\frac{\pi}{2}\middle| e^{2}\right) = 12 E\left(\frac{7}{9}\right)$$$.

Fokalparametern är avståndet mellan brännpunkten och direktrisen: $$$\frac{b^{2}}{c} = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$$$.

Latera recta är de linjer som är parallella med den lilla axeln och som går genom brännpunkterna.

Det första latus rectum är $$$x = - \sqrt{7}$$$.

Det andra latus rectum är $$$x = \sqrt{7}$$$.

Ändpunkterna för den första latus rectum kan bestämmas genom att lösa systemet $$$\begin{cases} 2 x^{2} + 9 y^{2} - 18 = 0 \\ x = - \sqrt{7} \end{cases}$$$ (för stegen, se kalkylator för ekvationssystem).

Den första latus rectums ändpunkter är $$$\left(- \sqrt{7}, - \frac{2}{3}\right)$$$, $$$\left(- \sqrt{7}, \frac{2}{3}\right)$$$.

Ändpunkterna för det andra latus rectum kan bestämmas genom att lösa systemet $$$\begin{cases} 2 x^{2} + 9 y^{2} - 18 = 0 \\ x = \sqrt{7} \end{cases}$$$ (för steg, se kalkylator för ekvationssystem).

Ändpunkterna för den andra latus rectum är $$$\left(\sqrt{7}, - \frac{2}{3}\right)$$$, $$$\left(\sqrt{7}, \frac{2}{3}\right)$$$.

Längden av latera recta (fokalbredden) är $$$\frac{2 b^{2}}{a} = \frac{4}{3}$$$.

Den första direktrisen är $$$x = h - \frac{a^{2}}{c} = - \frac{9 \sqrt{7}}{7}$$$.

Den andra direktrisen är $$$x = h + \frac{a^{2}}{c} = \frac{9 \sqrt{7}}{7}$$$.

x-skärningspunkterna kan bestämmas genom att sätta $$$y = 0$$$ i ekvationen och lösa ut $$$x$$$ (för stegen, se skärningspunktskalkylator).

x-skärningspunkter: $$$\left(-3, 0\right)$$$, $$$\left(3, 0\right)$$$

Y-skärningspunkterna kan bestämmas genom att sätta in $$$x = 0$$$ i ekvationen och lösa ut $$$y$$$: (för steg, se kalkylator för skärningspunkter).

skärningspunkter med y-axeln: $$$\left(0, - \sqrt{2}\right)$$$, $$$\left(0, \sqrt{2}\right)$$$

Definitionsmängden är $$$\left[h - a, h + a\right] = \left[-3, 3\right]$$$.

Värdemängden är $$$\left[k - b, k + b\right] = \left[- \sqrt{2}, \sqrt{2}\right]$$$.

Standardform/ekvation: $$$\frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y^{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}} = 1$$$A.

Toppunktsform/ekvation: $$$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{2} = 1$$$A.

Allmän form/ekvation: $$$2 x^{2} + 9 y^{2} - 18 = 0$$$A.

Första brännpunkt-direktrisform/ekvation: $$$\left(x + \sqrt{7}\right)^{2} + y^{2} = \frac{7 \left(x + \frac{9 \sqrt{7}}{7}\right)^{2}}{9}$$$A.

Andra fokus-direktrisform/ekvation: $$$\left(x - \sqrt{7}\right)^{2} + y^{2} = \frac{7 \left(x - \frac{9 \sqrt{7}}{7}\right)^{2}}{9}$$$A.

Graf: se grafräknaren.

Centrum: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

Första brännpunkten: $$$\left(- \sqrt{7}, 0\right)\approx \left(-2.645751311064591, 0\right)$$$A.

Andra brännpunkten: $$$\left(\sqrt{7}, 0\right)\approx \left(2.645751311064591, 0\right)$$$A.

Första topppunkten: $$$\left(-3, 0\right)$$$A.

Andra toppunkten: $$$\left(3, 0\right)$$$A.

Första medtoppunkt: $$$\left(0, - \sqrt{2}\right)\approx \left(0, -1.414213562373095\right)$$$A.

Andra ändpunkten på lilla axeln: $$$\left(0, \sqrt{2}\right)\approx \left(0, 1.414213562373095\right)$$$A.

Storaxelns längd: $$$6$$$A.

Stora halvaxelns längd: $$$3$$$A.

Lillaxelns längd: $$$2 \sqrt{2}\approx 2.82842712474619$$$A.

Lilla halvaxelns längd: $$$\sqrt{2}\approx 1.414213562373095$$$A.

Area: $$$3 \sqrt{2} \pi\approx 13.328648814475099$$$A.

Omkrets: $$$12 E\left(\frac{7}{9}\right)\approx 14.318823491478567$$$A.

Första latus rectum: $$$x = - \sqrt{7}\approx -2.645751311064591$$$A.

Andra latus rectum: $$$x = \sqrt{7}\approx 2.645751311064591$$$A.

Ändpunkter för det första latus rectum: $$$\left(- \sqrt{7}, - \frac{2}{3}\right)\approx \left(-2.645751311064591, -0.666666666666667\right)$$$, $$$\left(- \sqrt{7}, \frac{2}{3}\right)\approx \left(-2.645751311064591, 0.666666666666667\right)$$$A.

Ändpunkter för det andra latus rectum: $$$\left(\sqrt{7}, - \frac{2}{3}\right)\approx \left(2.645751311064591, -0.666666666666667\right)$$$, $$$\left(\sqrt{7}, \frac{2}{3}\right)\approx \left(2.645751311064591, 0.666666666666667\right)$$$A.

Längden av de latera recta (fokalbredd): $$$\frac{4}{3}\approx 1.333333333333333$$$A.

Fokalparameter: $$$\frac{2 \sqrt{7}}{7}\approx 0.755928946018454$$$A.

Excentricitet: $$$\frac{\sqrt{7}}{3}\approx 0.881917103688197$$$A.

Linjär excentricitet (fokalavstånd): $$$\sqrt{7}\approx 2.645751311064591$$$A.

Första direktrisen: $$$x = - \frac{9 \sqrt{7}}{7}\approx -3.401680257083045$$$A.

Andra direktrisen: $$$x = \frac{9 \sqrt{7}}{7}\approx 3.401680257083045$$$A.

x-skärningspunkter: $$$\left(-3, 0\right)$$$, $$$\left(3, 0\right)$$$A.

skärningspunkter med y-axeln: $$$\left(0, - \sqrt{2}\right)\approx \left(0, -1.414213562373095\right)$$$, $$$\left(0, \sqrt{2}\right)\approx \left(0, 1.414213562373095\right)$$$A.

Definitionsmängd: $$$\left[-3, 3\right]$$$A.

Värdemängd: $$$\left[- \sqrt{2}, \sqrt{2}\right]\approx \left[-1.414213562373095, 1.414213562373095\right]$$$A.