$$$2 x^{2} + 9 y^{2} = 18$$$ elipsinin özellikleri

Elips $$$2 x^{2} + 9 y^{2} = 18$$$'in merkezini, odaklarını, tepe noktalarını, yardımcı tepe noktalarını, büyük eksen uzunluğunu, yarı büyük eksen uzunluğunu, küçük eksen uzunluğunu, yarı küçük eksen uzunluğunu, alanını, çevre uzunluğunu, odak kirişlerini, odak kirişlerinin uzunluğunu (odak genişliği), odak parametresini, dışmerkezliğini, doğrusal dışmerkezliğini (odak uzaklığı), doğrultmanlarını, x-kesişimlerini, y-kesişimlerini, tanım kümesini ve değer kümesini bulun.

Bir elipsin denklemi $$$\frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} + \frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} = 1$$$ şeklindedir; burada $$$\left(h, k\right)$$$ merkezdir, $$$a$$$ ve $$$b$$$ sırasıyla büyük yarı eksen ve küçük yarı eksen uzunluklarıdır.

Bu biçimdeki elipsimiz $$$\frac{\left(x - 0\right)^{2}}{9} + \frac{\left(y - 0\right)^{2}}{2} = 1$$$.

Dolayısıyla, $$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 3$$$, $$$b = \sqrt{2}$$$.

Standart biçim $$$\frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y^{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}} = 1$$$ şeklindedir.

Tepe noktası biçimi $$$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{2} = 1$$$.

Genel biçim $$$2 x^{2} + 9 y^{2} - 18 = 0$$$ şeklindedir.

Doğrusal dışmerkezlik (odak uzaklığı) $$$c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{7}$$$'dir.

Eksantriklik $$$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{7}}{3}$$$.

Birinci odak noktası $$$\left(h - c, k\right) = \left(- \sqrt{7}, 0\right)$$$.

İkinci odak $$$\left(h + c, k\right) = \left(\sqrt{7}, 0\right)$$$.

İlk köşe $$$\left(h - a, k\right) = \left(-3, 0\right)$$$.

İkinci tepe noktası $$$\left(h + a, k\right) = \left(3, 0\right)$$$.

İlk yardımcı tepe noktası $$$\left(h, k - b\right) = \left(0, - \sqrt{2}\right)$$$.

İkinci yardımcı tepe noktası $$$\left(h, k + b\right) = \left(0, \sqrt{2}\right)$$$.

Büyük eksenin uzunluğu $$$2 a = 6$$$.

Küçük eksenin uzunluğu $$$2 b = 2 \sqrt{2}$$$.

Alan $$$\pi a b = 3 \sqrt{2} \pi$$$.

Çevre uzunluğu $$$4 a E\left(\frac{\pi}{2}\middle| e^{2}\right) = 12 E\left(\frac{7}{9}\right)$$$.

Odak parametresi, odak ile doğrultman arasındaki uzaklıktır: $$$\frac{b^{2}}{c} = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$$$.

Latera recta, küçük eksene paralel ve odaklardan geçen doğrulardır.

Birinci odak kirişi $$$x = - \sqrt{7}$$$.

İkinci odak kirişi $$$x = \sqrt{7}$$$.

İlk latus rectumun uç noktaları $$$\begin{cases} 2 x^{2} + 9 y^{2} - 18 = 0 \\ x = - \sqrt{7} \end{cases}$$$ sistemini çözerek bulunabilir (adımlar için bkz. denklem sistemi hesaplayıcısı).

Birinci latus rectum'un uç noktaları $$$\left(- \sqrt{7}, - \frac{2}{3}\right)$$$, $$$\left(- \sqrt{7}, \frac{2}{3}\right)$$$.

İkinci latus rectum'un uç noktaları, $$$\begin{cases} 2 x^{2} + 9 y^{2} - 18 = 0 \\ x = \sqrt{7} \end{cases}$$$ sistemini çözerek bulunabilir (adımlar için bkz. denklem sistemi hesaplayıcısı).

İkinci odak kirişinin uç noktaları $$$\left(\sqrt{7}, - \frac{2}{3}\right)$$$, $$$\left(\sqrt{7}, \frac{2}{3}\right)$$$.

Latera recta’nın (odak genişliğinin) uzunluğu $$$\frac{2 b^{2}}{a} = \frac{4}{3}$$$.

Birinci doğrultman $$$x = h - \frac{a^{2}}{c} = - \frac{9 \sqrt{7}}{7}$$$ şeklindedir.

İkinci doğrultman $$$x = h + \frac{a^{2}}{c} = \frac{9 \sqrt{7}}{7}$$$.

x-ekseni kesişimleri, denklemde $$$y = 0$$$ değerini verip $$$x$$$ için çözerek bulunabilir (adımlar için bkz. kesişimler hesaplayıcısı).

x-eksenini kestiği noktalar: $$$\left(-3, 0\right)$$$, $$$\left(3, 0\right)$$$

y-kesişimleri, denklemde $$$x = 0$$$ alınarak ve $$$y$$$ için çözülerek bulunabilir: (adımlar için bkz. eksen kesim noktaları hesaplayıcısı).

y-eksenini kestiği noktalar: $$$\left(0, - \sqrt{2}\right)$$$, $$$\left(0, \sqrt{2}\right)$$$

Tanım kümesi $$$\left[h - a, h + a\right] = \left[-3, 3\right]$$$.

Değer kümesi $$$\left[k - b, k + b\right] = \left[- \sqrt{2}, \sqrt{2}\right]$$$.

Standart form/denklem: $$$\frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y^{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}} = 1$$$A.

Tepe noktası biçimi/denklemi: $$$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{2} = 1$$$A.

Genel biçim/denklem: $$$2 x^{2} + 9 y^{2} - 18 = 0$$$A.

Birinci odak-doğrultman formu/denklemi: $$$\left(x + \sqrt{7}\right)^{2} + y^{2} = \frac{7 \left(x + \frac{9 \sqrt{7}}{7}\right)^{2}}{9}$$$A.

İkinci odak-doğrultman formu/denklemi: $$$\left(x - \sqrt{7}\right)^{2} + y^{2} = \frac{7 \left(x - \frac{9 \sqrt{7}}{7}\right)^{2}}{9}$$$A.

Grafik: bkz. grafik hesap makinesi.

Merkez: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

Birinci odak: $$$\left(- \sqrt{7}, 0\right)\approx \left(-2.645751311064591, 0\right)$$$A.

İkinci odak: $$$\left(\sqrt{7}, 0\right)\approx \left(2.645751311064591, 0\right)$$$A.

İlk köşe: $$$\left(-3, 0\right)$$$A.

İkinci köşe: $$$\left(3, 0\right)$$$A.

İlk yardımcı tepe noktası: $$$\left(0, - \sqrt{2}\right)\approx \left(0, -1.414213562373095\right)$$$A.

İkinci yardımcı tepe noktası: $$$\left(0, \sqrt{2}\right)\approx \left(0, 1.414213562373095\right)$$$A.

Büyük eksen uzunluğu: $$$6$$$A.

Yarı büyük eksen uzunluğu: $$$3$$$A.

Küçük eksen uzunluğu: $$$2 \sqrt{2}\approx 2.82842712474619$$$A.

Yarı küçük eksen uzunluğu: $$$\sqrt{2}\approx 1.414213562373095$$$A.

Alan: $$$3 \sqrt{2} \pi\approx 13.328648814475099$$$A.

Çevre uzunluğu: $$$12 E\left(\frac{7}{9}\right)\approx 14.318823491478567$$$A.

Birinci odak kirişi: $$$x = - \sqrt{7}\approx -2.645751311064591$$$A.

İkinci latus rectum: $$$x = \sqrt{7}\approx 2.645751311064591$$$A.

Birinci latus rectumun uç noktaları: $$$\left(- \sqrt{7}, - \frac{2}{3}\right)\approx \left(-2.645751311064591, -0.666666666666667\right)$$$, $$$\left(- \sqrt{7}, \frac{2}{3}\right)\approx \left(-2.645751311064591, 0.666666666666667\right)$$$A.

İkinci latus rectumun uç noktaları: $$$\left(\sqrt{7}, - \frac{2}{3}\right)\approx \left(2.645751311064591, -0.666666666666667\right)$$$, $$$\left(\sqrt{7}, \frac{2}{3}\right)\approx \left(2.645751311064591, 0.666666666666667\right)$$$A.

Latera recta uzunluğu (odak genişliği): $$$\frac{4}{3}\approx 1.333333333333333$$$A.

Odak parametresi: $$$\frac{2 \sqrt{7}}{7}\approx 0.755928946018454$$$A.

Dış merkezlik: $$$\frac{\sqrt{7}}{3}\approx 0.881917103688197$$$A.

Doğrusal dışmerkezlik (odak uzaklığı): $$$\sqrt{7}\approx 2.645751311064591$$$A.

Birinci doğrultman: $$$x = - \frac{9 \sqrt{7}}{7}\approx -3.401680257083045$$$A.

İkinci doğrultman: $$$x = \frac{9 \sqrt{7}}{7}\approx 3.401680257083045$$$A.

x-kesişimleri: $$$\left(-3, 0\right)$$$, $$$\left(3, 0\right)$$$A.

y-kesişimleri: $$$\left(0, - \sqrt{2}\right)\approx \left(0, -1.414213562373095\right)$$$, $$$\left(0, \sqrt{2}\right)\approx \left(0, 1.414213562373095\right)$$$A.

Tanım kümesi: $$$\left[-3, 3\right]$$$A.

Değer kümesi: $$$\left[- \sqrt{2}, \sqrt{2}\right]\approx \left[-1.414213562373095, 1.414213562373095\right]$$$A.