Propriedades da elipse $$$2 x^{2} + 9 y^{2} = 18$$$

Encontre o centro, os focos, os vértices, os co-vértices, o comprimento do eixo maior, o comprimento do semieixo maior, o comprimento do eixo menor, o comprimento do semieixo menor, a área, o perímetro, as latera recta, o comprimento das latera recta (largura focal), o parâmetro focal, a excentricidade, a excentricidade linear (distância focal), as diretrizes, os interceptos em x, os interceptos em y, o domínio e a imagem da elipse $$$2 x^{2} + 9 y^{2} = 18$$$.

A equação de uma elipse é $$$\frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} + \frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} = 1$$$, onde $$$\left(h, k\right)$$$ é o centro e $$$a$$$ e $$$b$$$ são os comprimentos dos semieixos maior e menor.

Nossa elipse nesta forma é $$$\frac{\left(x - 0\right)^{2}}{9} + \frac{\left(y - 0\right)^{2}}{2} = 1$$$.

Assim, $$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 3$$$, $$$b = \sqrt{2}$$$.

A forma padrão é $$$\frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y^{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}} = 1$$$.

A forma de vértice é $$$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{2} = 1$$$.

A forma geral é $$$2 x^{2} + 9 y^{2} - 18 = 0$$$.

A excentricidade linear (distância focal) é $$$c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{7}$$$.

A excentricidade é $$$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{7}}{3}$$$.

O primeiro foco é $$$\left(h - c, k\right) = \left(- \sqrt{7}, 0\right)$$$.

O segundo foco é $$$\left(h + c, k\right) = \left(\sqrt{7}, 0\right)$$$.

O primeiro vértice é $$$\left(h - a, k\right) = \left(-3, 0\right)$$$.

O segundo vértice é $$$\left(h + a, k\right) = \left(3, 0\right)$$$.

O primeiro co-vértice é $$$\left(h, k - b\right) = \left(0, - \sqrt{2}\right)$$$.

O segundo co-vértice é $$$\left(h, k + b\right) = \left(0, \sqrt{2}\right)$$$.

O comprimento do eixo maior é $$$2 a = 6$$$.

O comprimento do eixo menor é $$$2 b = 2 \sqrt{2}$$$.

A área é $$$\pi a b = 3 \sqrt{2} \pi$$$.

O comprimento da circunferência é $$$4 a E\left(\frac{\pi}{2}\middle| e^{2}\right) = 12 E\left(\frac{7}{9}\right)$$$.

O parâmetro focal é a distância entre o foco e a diretriz: $$$\frac{b^{2}}{c} = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$$$.

Os latera recta são as retas paralelas ao eixo menor que passam pelos focos.

O primeiro lado reto é $$$x = - \sqrt{7}$$$.

O segundo lado reto é $$$x = \sqrt{7}$$$.

As extremidades do primeiro lado reto podem ser encontradas resolvendo o sistema $$$\begin{cases} 2 x^{2} + 9 y^{2} - 18 = 0 \\ x = - \sqrt{7} \end{cases}$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de sistemas de equações).

As extremidades do primeiro lado reto são $$$\left(- \sqrt{7}, - \frac{2}{3}\right)$$$, $$$\left(- \sqrt{7}, \frac{2}{3}\right)$$$.

As extremidades do segundo lado reto podem ser encontradas resolvendo o sistema $$$\begin{cases} 2 x^{2} + 9 y^{2} - 18 = 0 \\ x = \sqrt{7} \end{cases}$$$ (para ver os passos, veja calculadora de sistemas de equações).

Os extremos do segundo lado reto são $$$\left(\sqrt{7}, - \frac{2}{3}\right)$$$, $$$\left(\sqrt{7}, \frac{2}{3}\right)$$$.

O comprimento dos lados retos (largura focal) é $$$\frac{2 b^{2}}{a} = \frac{4}{3}$$$.

A primeira diretriz é $$$x = h - \frac{a^{2}}{c} = - \frac{9 \sqrt{7}}{7}$$$.

A segunda diretriz é $$$x = h + \frac{a^{2}}{c} = \frac{9 \sqrt{7}}{7}$$$.

Os interceptos em x podem ser encontrados definindo $$$y = 0$$$ na equação e resolvendo em relação a $$$x$$$ (para as etapas, consulte calculadora de interceptos).

interceptos em x: $$$\left(-3, 0\right)$$$, $$$\left(3, 0\right)$$$

As interseções com o eixo y podem ser encontradas definindo $$$x = 0$$$ na equação e resolvendo para $$$y$$$: (para os passos, veja calculadora de interceptos).

interseções com o eixo y: $$$\left(0, - \sqrt{2}\right)$$$, $$$\left(0, \sqrt{2}\right)$$$

O domínio é $$$\left[h - a, h + a\right] = \left[-3, 3\right]$$$.

O conjunto imagem é $$$\left[k - b, k + b\right] = \left[- \sqrt{2}, \sqrt{2}\right]$$$.

Forma padrão/equação: $$$\frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y^{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}} = 1$$$A.

Forma/equação de vértice: $$$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{2} = 1$$$A.

Forma/equação geral: $$$2 x^{2} + 9 y^{2} - 18 = 0$$$A.

Primeira forma/equação foco-diretriz: $$$\left(x + \sqrt{7}\right)^{2} + y^{2} = \frac{7 \left(x + \frac{9 \sqrt{7}}{7}\right)^{2}}{9}$$$A.

Segunda forma/equação foco-diretriz: $$$\left(x - \sqrt{7}\right)^{2} + y^{2} = \frac{7 \left(x - \frac{9 \sqrt{7}}{7}\right)^{2}}{9}$$$A.

Gráfico: veja a calculadora gráfica.

Centro: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

Primeiro foco: $$$\left(- \sqrt{7}, 0\right)\approx \left(-2.645751311064591, 0\right)$$$A.

Segundo foco: $$$\left(\sqrt{7}, 0\right)\approx \left(2.645751311064591, 0\right)$$$A.

Primeiro vértice: $$$\left(-3, 0\right)$$$A.

Segundo vértice: $$$\left(3, 0\right)$$$A.

Primeiro co-vértice: $$$\left(0, - \sqrt{2}\right)\approx \left(0, -1.414213562373095\right)$$$A.

Segundo co-vértice: $$$\left(0, \sqrt{2}\right)\approx \left(0, 1.414213562373095\right)$$$A.

Comprimento do eixo maior: $$$6$$$A.

Comprimento do semieixo maior: $$$3$$$A.

Comprimento do eixo menor: $$$2 \sqrt{2}\approx 2.82842712474619$$$A.

Comprimento do semieixo menor: $$$\sqrt{2}\approx 1.414213562373095$$$A.

Área: $$$3 \sqrt{2} \pi\approx 13.328648814475099$$$A.

Circunferência: $$$12 E\left(\frac{7}{9}\right)\approx 14.318823491478567$$$A.

Primeiro lado reto: $$$x = - \sqrt{7}\approx -2.645751311064591$$$A.

Segundo lado reto: $$$x = \sqrt{7}\approx 2.645751311064591$$$A.

Extremidades do primeiro lado reto: $$$\left(- \sqrt{7}, - \frac{2}{3}\right)\approx \left(-2.645751311064591, -0.666666666666667\right)$$$, $$$\left(- \sqrt{7}, \frac{2}{3}\right)\approx \left(-2.645751311064591, 0.666666666666667\right)$$$A.

Extremidades do segundo lado reto: $$$\left(\sqrt{7}, - \frac{2}{3}\right)\approx \left(2.645751311064591, -0.666666666666667\right)$$$, $$$\left(\sqrt{7}, \frac{2}{3}\right)\approx \left(2.645751311064591, 0.666666666666667\right)$$$A.

Comprimento dos lados retos (largura focal): $$$\frac{4}{3}\approx 1.333333333333333$$$A.

Parâmetro focal: $$$\frac{2 \sqrt{7}}{7}\approx 0.755928946018454$$$A.

Excentricidade: $$$\frac{\sqrt{7}}{3}\approx 0.881917103688197$$$A.

Excentricidade linear (distância focal): $$$\sqrt{7}\approx 2.645751311064591$$$A.

Primeira diretriz: $$$x = - \frac{9 \sqrt{7}}{7}\approx -3.401680257083045$$$A.

Segunda diretriz: $$$x = \frac{9 \sqrt{7}}{7}\approx 3.401680257083045$$$A.

Interseções com o eixo x: $$$\left(-3, 0\right)$$$, $$$\left(3, 0\right)$$$A.

interseções com o eixo y: $$$\left(0, - \sqrt{2}\right)\approx \left(0, -1.414213562373095\right)$$$, $$$\left(0, \sqrt{2}\right)\approx \left(0, 1.414213562373095\right)$$$A.

Domínio: $$$\left[-3, 3\right]$$$A.

Imagem: $$$\left[- \sqrt{2}, \sqrt{2}\right]\approx \left[-1.414213562373095, 1.414213562373095\right]$$$A.