Calculadora de parábola

Encontre o vértice, foco, diretriz, eixo de simetria, lado reto, comprimento do lado reto (largura focal), parâmetro focal, distância focal, excentricidade, interseções com o eixo x, interseções com o eixo y, domínio e imagem da parábola $$$y = \left(x - 2\right)^{2} + 5$$$.

A equação de uma parábola é $$$y = \frac{1}{4 \left(f - k\right)} \left(x - h\right)^{2} + k$$$, onde $$$\left(h, k\right)$$$ é o vértice e $$$\left(h, f\right)$$$ é o foco.

Nossa parábola nesta forma é $$$y = \frac{1}{4 \left(\frac{21}{4} - 5\right)} \left(x - 2\right)^{2} + 5$$$.

Assim, $$$h = 2$$$, $$$k = 5$$$, $$$f = \frac{21}{4}$$$.

A forma padrão é $$$y = x^{2} - 4 x + 9$$$.

A forma geral é $$$x^{2} - 4 x - y + 9 = 0$$$.

A forma de vértice é $$$y = \left(x - 2\right)^{2} + 5$$$.

A diretriz é $$$y = d$$$.

Para encontrar $$$d$$$, use o fato de que a distância do foco ao vértice é igual à distância do vértice à diretriz: $$$5 - \frac{21}{4} = d - 5$$$.

Portanto, a diretriz é $$$y = \frac{19}{4}$$$.

O eixo de simetria é a reta perpendicular à diretriz que passa pelo vértice e pelo foco: $$$x = 2$$$.

A distância focal é a distância entre o foco e o vértice: $$$\frac{1}{4}$$$.

O parâmetro focal é a distância entre o foco e a diretriz: $$$\frac{1}{2}$$$.

O lado reto é paralelo à diretriz e passa pelo foco: $$$y = \frac{21}{4}$$$.

As extremidades do lado reto podem ser encontradas resolvendo o sistema $$$\begin{cases} x^{2} - 4 x - y + 9 = 0 \\ y = \frac{21}{4} \end{cases}$$$ (para os passos, consulte calculadora de sistemas de equações).

As extremidades do lado reto são $$$\left(\frac{3}{2}, \frac{21}{4}\right)$$$, $$$\left(\frac{5}{2}, \frac{21}{4}\right)$$$.

O comprimento do lado reto (largura focal) é igual a quatro vezes a distância entre o vértice e o foco: $$$1$$$.

A excentricidade de uma parábola é sempre $$$1$$$.

Os interceptos em x podem ser encontrados definindo $$$y = 0$$$ na equação e resolvendo em relação a $$$x$$$ (para as etapas, consulte calculadora de interceptos).

Como não há soluções reais, não há interceptos no eixo x.

As interseções com o eixo y podem ser encontradas definindo $$$x = 0$$$ na equação e resolvendo para $$$y$$$: (para os passos, veja calculadora de interceptos).

intercepto em y: $$$\left(0, 9\right)$$$.

Forma padrão/equação: $$$y = x^{2} - 4 x + 9$$$A.

Forma/equação geral: $$$x^{2} - 4 x - y + 9 = 0$$$A.

Forma/equação de vértice: $$$y = \left(x - 2\right)^{2} + 5$$$A.

Forma/equação foco-diretriz: $$$\left(x - 2\right)^{2} + \left(y - \frac{21}{4}\right)^{2} = \left(y - \frac{19}{4}\right)^{2}$$$A.

Gráfico: veja a calculadora gráfica.

Vértice: $$$\left(2, 5\right)$$$A.

Foco: $$$\left(2, \frac{21}{4}\right) = \left(2, 5.25\right)$$$A.

Diretriz: $$$y = \frac{19}{4} = 4.75$$$A.

Eixo de simetria: $$$x = 2$$$A.

Lado reto: $$$y = \frac{21}{4} = 5.25$$$A.

Extremos do lado reto: $$$\left(\frac{3}{2}, \frac{21}{4}\right) = \left(1.5, 5.25\right)$$$, $$$\left(\frac{5}{2}, \frac{21}{4}\right) = \left(2.5, 5.25\right)$$$A.

Comprimento do lado reto (largura focal): $$$1$$$A.

Parâmetro focal: $$$\frac{1}{2} = 0.5$$$A.

Distância focal: $$$\frac{1}{4} = 0.25$$$A.

Excentricidade: $$$1$$$A.

Interseções com o eixo x: sem interceptos no eixo x.

intercepto em y: $$$\left(0, 9\right)$$$A.

Domínio: $$$\left(-\infty, \infty\right)$$$A.

Imagem: $$$\left[5, \infty\right)$$$A.