Calculadora de Elipse

Encontre o centro, focos, vértices, co-vértices, comprimento do eixo maior, comprimento do semi-eixo maior, comprimento do eixo menor, comprimento do eixo semi-menor, área, circunferência, latera recta, comprimento da latera recta (largura focal), focal parâmetro, excentricidade, excentricidade linear (distância focal), diretrizes, interceptações x, interceptações y, domínio e alcance da elipse $$$4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$$$.

A equação de uma elipse é $$$\frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} + \frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} = 1$$$, onde $$$\left(h, k\right)$$$ é o centro, $$$a$$$ e $$$b$$$ são os comprimentos dos semi-eixos maiores e semi-menores.

Nossa elipse nesta forma é $$$\frac{\left(x - 0\right)^{2}}{9} + \frac{\left(y - 0\right)^{2}}{4} = 1$$$.

Assim, $$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 3$$$, $$$b = 2$$$.

O formulário padrão é $$$\frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y^{2}}{2^{2}} = 1$$$.

A forma do vértice é $$$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$$$.

A forma geral é $$$4 x^{2} + 9 y^{2} - 36 = 0$$$.

A excentricidade linear (distância focal) é $$$c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{5}$$$.

A excentricidade é $$$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{3}$$$.

O primeiro foco é $$$\left(h - c, k\right) = \left(- \sqrt{5}, 0\right)$$$.

O segundo foco é $$$\left(h + c, k\right) = \left(\sqrt{5}, 0\right)$$$.

O primeiro vértice é $$$\left(h - a, k\right) = \left(-3, 0\right)$$$.

O segundo vértice é $$$\left(h + a, k\right) = \left(3, 0\right)$$$.

O primeiro co-vértice é $$$\left(h, k - b\right) = \left(0, -2\right)$$$.

O segundo co-vértice é $$$\left(h, k + b\right) = \left(0, 2\right)$$$.

O comprimento do eixo maior é $$$2 a = 6$$$.

O comprimento do eixo menor é $$$2 b = 4$$$.

A área é $$$\pi a b = 6 \pi$$$.

A circunferência é $$$4 a E\left(\frac{\pi}{2}\middle| e^{2}\right) = 12 E\left(\frac{5}{9}\right)$$$.

O parâmetro focal é a distância entre o foco e a diretriz: $$$\frac{b^{2}}{c} = \frac{4 \sqrt{5}}{5}$$$.

Os latera recta são as linhas paralelas ao eixo menor que passam pelos focos.

O primeiro latus rectum é $$$x = - \sqrt{5}$$$.

O segundo latus rectum é $$$x = \sqrt{5}$$$.

Os pontos finais do primeiro latus rectum podem ser encontrados resolvendo o sistema $$$\begin{cases} 4 x^{2} + 9 y^{2} - 36 = 0 \\ x = - \sqrt{5} \end{cases}$$$ (para conhecer as etapas, consulte calculadora do sistema de equações).

Os pontos finais do primeiro latus rectum são $$$\left(- \sqrt{5}, - \frac{4}{3}\right)$$$, $$$\left(- \sqrt{5}, \frac{4}{3}\right)$$$.

Os pontos finais do segundo latus rectum podem ser encontrados resolvendo o sistema $$$\begin{cases} 4 x^{2} + 9 y^{2} - 36 = 0 \\ x = \sqrt{5} \end{cases}$$$ (para conhecer as etapas, consulte calculadora do sistema de equações).

Os pontos finais do segundo latus rectum são $$$\left(\sqrt{5}, - \frac{4}{3}\right)$$$, $$$\left(\sqrt{5}, \frac{4}{3}\right)$$$.

O comprimento da latera recta (largura focal) é $$$\frac{2 b^{2}}{a} = \frac{8}{3}$$$.

A primeira diretriz é $$$x = h - \frac{a^{2}}{c} = - \frac{9 \sqrt{5}}{5}$$$.

A segunda diretriz é $$$x = h + \frac{a^{2}}{c} = \frac{9 \sqrt{5}}{5}$$$.

As interceptações x podem ser encontradas definindo $$$y = 0$$$ na equação e resolvendo para $$$x$$$ (para conhecer as etapas, consulte calculadora de interceptações).

interceptações x: $$$\left(-3, 0\right)$$$, $$$\left(3, 0\right)$$$

As interceptações y podem ser encontradas definindo $$$x = 0$$$ na equação e resolvendo para $$$y$$$: (para conhecer as etapas, consulte calculadora de interceptações).

interceptações y: $$$\left(0, -2\right)$$$, $$$\left(0, 2\right)$$$

O domínio é $$$\left[h - a, h + a\right] = \left[-3, 3\right]$$$.

O intervalo é $$$\left[k - b, k + b\right] = \left[-2, 2\right]$$$.

Forma/equação padrão: $$$\frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y^{2}}{2^{2}} = 1$$$A.

Forma/equação do vértice: $$$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$$$A.

Forma geral/equação: $$$4 x^{2} + 9 y^{2} - 36 = 0$$$A.

Primeira forma/equação da diretriz de foco: $$$\left(x + \sqrt{5}\right)^{2} + y^{2} = \frac{5 \left(x + \frac{9 \sqrt{5}}{5}\right)^{2}}{9}$$$A.

Segunda forma/equação da diretriz de foco: $$$\left(x - \sqrt{5}\right)^{2} + y^{2} = \frac{5 \left(x - \frac{9 \sqrt{5}}{5}\right)^{2}}{9}$$$A.

Gráfico: consulte a calculadora gráfica.

Centro: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

Primeiro foco: $$$\left(- \sqrt{5}, 0\right)\approx \left(-2.23606797749979, 0\right)$$$A.

Segundo foco: $$$\left(\sqrt{5}, 0\right)\approx \left(2.23606797749979, 0\right)$$$A.

Primeiro vértice: $$$\left(-3, 0\right)$$$A.

Segundo vértice: $$$\left(3, 0\right)$$$A.

Primeiro co-vértice: $$$\left(0, -2\right)$$$A.

Segundo co-vértice: $$$\left(0, 2\right)$$$A.

Comprimento do eixo principal: $$$6$$$A.

Comprimento do semi-eixo maior: $$$3$$$A.

Comprimento do eixo menor: $$$4$$$A.

Comprimento do semi-eixo menor: $$$2$$$A.

Área: $$$6 \pi\approx 18.849555921538759$$$A.

Circunferência: $$$12 E\left(\frac{5}{9}\right)\approx 15.86543958929059$$$A.

Primeiro latus rectum: $$$x = - \sqrt{5}\approx -2.23606797749979$$$A.

Segundo latus rectum: $$$x = \sqrt{5}\approx 2.23606797749979$$$A.

Endpoints do primeiro latus rectum: $$$\left(- \sqrt{5}, - \frac{4}{3}\right)\approx \left(-2.23606797749979, -1.333333333333333\right)$$$, $$$\left(- \sqrt{5}, \frac{4}{3}\right)\approx \left(-2.23606797749979, 1.333333333333333\right)$$$A.

Endpoints do segundo latus rectum: $$$\left(\sqrt{5}, - \frac{4}{3}\right)\approx \left(2.23606797749979, -1.333333333333333\right)$$$, $$$\left(\sqrt{5}, \frac{4}{3}\right)\approx \left(2.23606797749979, 1.333333333333333\right)$$$A.

Comprimento da latera recta (largura focal): $$$\frac{8}{3}\approx 2.666666666666667$$$A.

Parâmetro focal: $$$\frac{4 \sqrt{5}}{5}\approx 1.788854381999832$$$A.

Excentricidade: $$$\frac{\sqrt{5}}{3}\approx 0.74535599249993$$$A.

Excentricidade linear (distância focal): $$$\sqrt{5}\approx 2.23606797749979$$$A.

Primeira diretriz: $$$x = - \frac{9 \sqrt{5}}{5}\approx -4.024922359499621$$$A.

Segunda diretriz: $$$x = \frac{9 \sqrt{5}}{5}\approx 4.024922359499621$$$A.

interceptações x: $$$\left(-3, 0\right)$$$, $$$\left(3, 0\right)$$$A

interceptações y: $$$\left(0, -2\right)$$$, $$$\left(0, 2\right)$$$A

Domínio: $$$\left[-3, 3\right]$$$A.

Intervalo: $$$\left[-2, 2\right]$$$A.