Ellipsin $$$2 x^{2} + 9 y^{2} = 18$$$ ominaisuudet

Määritä ellipsin $$$2 x^{2} + 9 y^{2} = 18$$$ keskipiste, polttopisteet, kärkipisteet, sivukärjet, pääakselin pituus, ison puoliakselin pituus, sivuakselin pituus, pienen puoliakselin pituus, pinta-ala, ympärysmitta, polttojänteet, polttojänteen pituus (fokaalileveys), polttoparametri, eksentrisyys, lineaarinen eksentrisyys (polttopiste-etäisyys), johtosuorat, x-akselin leikkauspisteet, y-akselin leikkauspisteet, määrittelyjoukko ja arvojoukko.

Ellipsin yhtälö on $$$\frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} + \frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} = 1$$$, jossa $$$\left(h, k\right)$$$ on keskipiste ja $$$a$$$ ja $$$b$$$ ovat puolisuuren ja puolipienen akselin pituudet.

Ellipsimme tässä muodossa on $$$\frac{\left(x - 0\right)^{2}}{9} + \frac{\left(y - 0\right)^{2}}{2} = 1$$$.

Siis, $$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 3$$$, $$$b = \sqrt{2}$$$.

Standardimuoto on $$$\frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y^{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}} = 1$$$.

Huippumuoto on $$$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{2} = 1$$$.

Yleinen muoto on $$$2 x^{2} + 9 y^{2} - 18 = 0$$$.

Lineaarinen eksentrisyys (polttopisteen etäisyys) on $$$c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{7}$$$.

Eksentrisyys on $$$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{7}}{3}$$$.

Ensimmäinen polttopiste on $$$\left(h - c, k\right) = \left(- \sqrt{7}, 0\right)$$$.

Toinen polttopiste on $$$\left(h + c, k\right) = \left(\sqrt{7}, 0\right)$$$.

Ensimmäinen kärkipiste on $$$\left(h - a, k\right) = \left(-3, 0\right)$$$.

Toinen kärkipiste on $$$\left(h + a, k\right) = \left(3, 0\right)$$$.

Ensimmäinen apukärkipiste on $$$\left(h, k - b\right) = \left(0, - \sqrt{2}\right)$$$.

Toinen apukärki on $$$\left(h, k + b\right) = \left(0, \sqrt{2}\right)$$$.

Suuren akselin pituus on $$$2 a = 6$$$.

Pieniakselin pituus on $$$2 b = 2 \sqrt{2}$$$.

Pinta-ala on $$$\pi a b = 3 \sqrt{2} \pi$$$.

Ympärysmitta on $$$4 a E\left(\frac{\pi}{2}\middle| e^{2}\right) = 12 E\left(\frac{7}{9}\right)$$$.

Fokaaliparametri on polttopisteen ja johtosuoran välinen etäisyys: $$$\frac{b^{2}}{c} = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$$$.

Latera recta ovat sivuakselin suuntaiset suorat, jotka kulkevat polttopisteiden kautta.

Ensimmäinen suoramitta on $$$x = - \sqrt{7}$$$.

Toinen latus rectum on $$$x = \sqrt{7}$$$.

Ensimmäisen latus rectumin päätepisteet voidaan löytää ratkaisemalla yhtälöryhmän $$$\begin{cases} 2 x^{2} + 9 y^{2} - 18 = 0 \\ x = - \sqrt{7} \end{cases}$$$ (vaiheet: katso system of equations calculator).

Ensimmäisen latus rectumin päätepisteet ovat $$$\left(- \sqrt{7}, - \frac{2}{3}\right)$$$, $$$\left(- \sqrt{7}, \frac{2}{3}\right)$$$.

Toisen johtojänteen päätepisteet voidaan löytää ratkaisemalla järjestelmä $$$\begin{cases} 2 x^{2} + 9 y^{2} - 18 = 0 \\ x = \sqrt{7} \end{cases}$$$ (vaiheista, katso yhtälöryhmälaskin).

Toisen latus rectumin päätepisteet ovat $$$\left(\sqrt{7}, - \frac{2}{3}\right)$$$, $$$\left(\sqrt{7}, \frac{2}{3}\right)$$$.

Latera recta -jänteiden pituus (fokaalileveys) on $$$\frac{2 b^{2}}{a} = \frac{4}{3}$$$.

Ensimmäinen johtosuora on $$$x = h - \frac{a^{2}}{c} = - \frac{9 \sqrt{7}}{7}$$$.

Toinen johtosuora on $$$x = h + \frac{a^{2}}{c} = \frac{9 \sqrt{7}}{7}$$$.

x-akselin leikkauspisteet voidaan löytää asettamalla $$$y = 0$$$ yhtälöön ja ratkaisemalla $$$x$$$:n suhteen (vaiheet: katso leikkauspisteiden laskin).

x-akselin leikkauspisteet: $$$\left(-3, 0\right)$$$, $$$\left(3, 0\right)$$$

Y-akselin leikkauspisteet voidaan löytää asettamalla $$$x = 0$$$ yhtälöön ja ratkaisemalla $$$y$$$:n suhteen: (vaiheittaiset ohjeet, ks. leikkauspisteiden laskin).

y-akselin leikkauspisteet: $$$\left(0, - \sqrt{2}\right)$$$, $$$\left(0, \sqrt{2}\right)$$$

Määrittelyjoukko on $$$\left[h - a, h + a\right] = \left[-3, 3\right]$$$.

Arvojoukko on $$$\left[k - b, k + b\right] = \left[- \sqrt{2}, \sqrt{2}\right]$$$.

Standardimuoto/yhtälö: $$$\frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y^{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}} = 1$$$A.

Huippumuoto/yhtälö: $$$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{2} = 1$$$A.

Yleinen muoto/yhtälö: $$$2 x^{2} + 9 y^{2} - 18 = 0$$$A.

Ensimmäinen polttopiste-johtosuoraesitys/yhtälö: $$$\left(x + \sqrt{7}\right)^{2} + y^{2} = \frac{7 \left(x + \frac{9 \sqrt{7}}{7}\right)^{2}}{9}$$$A.

Toinen polttopiste-johtosuora-muoto/yhtälö: $$$\left(x - \sqrt{7}\right)^{2} + y^{2} = \frac{7 \left(x - \frac{9 \sqrt{7}}{7}\right)^{2}}{9}$$$A.

Kuvaaja: katso graphing calculator.

Keskipiste: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

Ensimmäinen polttopiste: $$$\left(- \sqrt{7}, 0\right)\approx \left(-2.645751311064591, 0\right)$$$A.

Toinen polttopiste: $$$\left(\sqrt{7}, 0\right)\approx \left(2.645751311064591, 0\right)$$$A.

Ensimmäinen kärkipiste: $$$\left(-3, 0\right)$$$A.

Toinen kärkipiste: $$$\left(3, 0\right)$$$A.

Ensimmäinen sivukärkipiste: $$$\left(0, - \sqrt{2}\right)\approx \left(0, -1.414213562373095\right)$$$A.

Toinen sivukärkipiste: $$$\left(0, \sqrt{2}\right)\approx \left(0, 1.414213562373095\right)$$$A.

Pääakselin pituus: $$$6$$$A.

Puolisuuren akselin pituus: $$$3$$$A.

Pieniakselin pituus: $$$2 \sqrt{2}\approx 2.82842712474619$$$A.

Pienen puoliakselin pituus: $$$\sqrt{2}\approx 1.414213562373095$$$A.

Pinta-ala: $$$3 \sqrt{2} \pi\approx 13.328648814475099$$$A.

Ympärysmitta: $$$12 E\left(\frac{7}{9}\right)\approx 14.318823491478567$$$A.

Ensimmäinen latus rectum: $$$x = - \sqrt{7}\approx -2.645751311064591$$$A.

Toinen latus rectum: $$$x = \sqrt{7}\approx 2.645751311064591$$$A.

Ensimmäisen johtojänteen päätepisteet: $$$\left(- \sqrt{7}, - \frac{2}{3}\right)\approx \left(-2.645751311064591, -0.666666666666667\right)$$$, $$$\left(- \sqrt{7}, \frac{2}{3}\right)\approx \left(-2.645751311064591, 0.666666666666667\right)$$$A.

Toisen polttojanan päätepisteet: $$$\left(\sqrt{7}, - \frac{2}{3}\right)\approx \left(2.645751311064591, -0.666666666666667\right)$$$, $$$\left(\sqrt{7}, \frac{2}{3}\right)\approx \left(2.645751311064591, 0.666666666666667\right)$$$A.

Latera recta -pituus (fokaalileveys): $$$\frac{4}{3}\approx 1.333333333333333$$$A.

Fokaaliparametri: $$$\frac{2 \sqrt{7}}{7}\approx 0.755928946018454$$$A.

Eksentrisyys: $$$\frac{\sqrt{7}}{3}\approx 0.881917103688197$$$A.

Lineaarinen eksentrisyys (fokaalietäisyys): $$$\sqrt{7}\approx 2.645751311064591$$$A.

Ensimmäinen johtosuora: $$$x = - \frac{9 \sqrt{7}}{7}\approx -3.401680257083045$$$A.

Toinen johtosuora: $$$x = \frac{9 \sqrt{7}}{7}\approx 3.401680257083045$$$A.

x-akselin leikkauspisteet: $$$\left(-3, 0\right)$$$, $$$\left(3, 0\right)$$$A.

y-akselin leikkauspisteet: $$$\left(0, - \sqrt{2}\right)\approx \left(0, -1.414213562373095\right)$$$, $$$\left(0, \sqrt{2}\right)\approx \left(0, 1.414213562373095\right)$$$A.

Määrittelyjoukko: $$$\left[-3, 3\right]$$$A.

Arvojoukko: $$$\left[- \sqrt{2}, \sqrt{2}\right]\approx \left[-1.414213562373095, 1.414213562373095\right]$$$A.