Paraabelilaskin

Määritä paraabelin $$$y = \left(x - 2\right)^{2} + 5$$$ kärkipiste, polttopiste, johtosuora, symmetria-akseli, latus rectum, latus rectumin pituus (fokaalileveys), fokaaliparametri, polttoväli, eksentrisyys, x-akselin leikkauspisteet, y-akselin leikkauspisteet, määrittelyjoukko ja arvojoukko.

Paraabelin yhtälö on $$$y = \frac{1}{4 \left(f - k\right)} \left(x - h\right)^{2} + k$$$, jossa $$$\left(h, k\right)$$$ on huippu ja $$$\left(h, f\right)$$$ on polttopiste.

Tässä muodossa paraabelimme on $$$y = \frac{1}{4 \left(\frac{21}{4} - 5\right)} \left(x - 2\right)^{2} + 5$$$.

Siis, $$$h = 2$$$, $$$k = 5$$$, $$$f = \frac{21}{4}$$$.

Standardimuoto on $$$y = x^{2} - 4 x + 9$$$.

Yleinen muoto on $$$x^{2} - 4 x - y + 9 = 0$$$.

Huippumuoto on $$$y = \left(x - 2\right)^{2} + 5$$$.

Johtosuora on $$$y = d$$$.

Löytääksesi $$$d$$$, käytä sitä, että polttopisteen ja kärjen välinen etäisyys on sama kuin kärjen ja johtosuoran välinen etäisyys: $$$5 - \frac{21}{4} = d - 5$$$.

Siis johtosuora on $$$y = \frac{19}{4}$$$.

Symmetria-akseli on suora, joka on kohtisuorassa direktriksiin nähden ja kulkee kärjen ja polttopisteen kautta: $$$x = 2$$$.

Polttoväli on polttopisteen ja kärkipisteen välinen etäisyys: $$$\frac{1}{4}$$$.

Fokaaliparametri on polttopisteen ja johtosuoran välinen etäisyys: $$$\frac{1}{2}$$$.

Johtojänne on johtosuoran suuntainen ja kulkee polttopisteen kautta: $$$y = \frac{21}{4}$$$.

Latus rectumin päätepisteet voidaan löytää ratkaisemalla yhtälöryhmä $$$\begin{cases} x^{2} - 4 x - y + 9 = 0 \\ y = \frac{21}{4} \end{cases}$$$ (vaiheista ks. yhtälöryhmän laskin).

Latus rectumin päätepisteet ovat $$$\left(\frac{3}{2}, \frac{21}{4}\right)$$$, $$$\left(\frac{5}{2}, \frac{21}{4}\right)$$$.

Latus rectumin (fokaalileveyden) pituus on neljä kertaa niin suuri kuin huipun ja polttopisteen välinen etäisyys: $$$1$$$.

Paraabelin eksentrisyys on aina $$$1$$$.

x-akselin leikkauspisteet voidaan löytää asettamalla $$$y = 0$$$ yhtälöön ja ratkaisemalla $$$x$$$:n suhteen (vaiheet: katso leikkauspisteiden laskin).

Koska reaalisia ratkaisuja ei ole, x-akselin leikkauspisteitä ei ole.

Y-akselin leikkauspisteet voidaan löytää asettamalla $$$x = 0$$$ yhtälöön ja ratkaisemalla $$$y$$$:n suhteen: (vaiheittaiset ohjeet, ks. leikkauspisteiden laskin).

y-akselin leikkauspiste: $$$\left(0, 9\right)$$$.

Standardimuoto/yhtälö: $$$y = x^{2} - 4 x + 9$$$A.

Yleinen muoto/yhtälö: $$$x^{2} - 4 x - y + 9 = 0$$$A.

Huippumuoto/yhtälö: $$$y = \left(x - 2\right)^{2} + 5$$$A.

Polttopiste-johtosuora-muoto/yhtälö: $$$\left(x - 2\right)^{2} + \left(y - \frac{21}{4}\right)^{2} = \left(y - \frac{19}{4}\right)^{2}$$$A.

Kuvaaja: katso graphing calculator.

Huippu: $$$\left(2, 5\right)$$$A.

Polttopiste: $$$\left(2, \frac{21}{4}\right) = \left(2, 5.25\right)$$$A.

Johtosuora: $$$y = \frac{19}{4} = 4.75$$$A.

Symmetria-akseli: $$$x = 2$$$A.

Parametrijänne: $$$y = \frac{21}{4} = 5.25$$$A.

Polttojanan päätepisteet: $$$\left(\frac{3}{2}, \frac{21}{4}\right) = \left(1.5, 5.25\right)$$$, $$$\left(\frac{5}{2}, \frac{21}{4}\right) = \left(2.5, 5.25\right)$$$A.

Latus rectumin pituus (fokaalileveys): $$$1$$$A.

Fokaaliparametri: $$$\frac{1}{2} = 0.5$$$A.

Polttoväli: $$$\frac{1}{4} = 0.25$$$A.

Eksentrisyys: $$$1$$$A.

x-akselin leikkauspisteet: Ei x-akselin leikkauspisteitä.

y-akselin leikkauspiste: $$$\left(0, 9\right)$$$A.

Määrittelyjoukko: $$$\left(-\infty, \infty\right)$$$A.

Arvojoukko: $$$\left[5, \infty\right)$$$A.