Ellipsilaskin

Määritä ellipsin $$$4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$$$ keskipiste, polttopisteet, kärkipisteet, sivukärjet, pääakselin pituus, ison puoliakselin pituus, sivuakselin pituus, pienen puoliakselin pituus, pinta-ala, ympärysmitta, polttojänteet, polttojänteen pituus (fokaalileveys), polttoparametri, eksentrisyys, lineaarinen eksentrisyys (polttopiste-etäisyys), johtosuorat, x-akselin leikkauspisteet, y-akselin leikkauspisteet, määrittelyjoukko ja arvojoukko.

Ellipsin yhtälö on $$$\frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} + \frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} = 1$$$, jossa $$$\left(h, k\right)$$$ on keskipiste ja $$$a$$$ ja $$$b$$$ ovat puolisuuren ja puolipienen akselin pituudet.

Ellipsimme tässä muodossa on $$$\frac{\left(x - 0\right)^{2}}{9} + \frac{\left(y - 0\right)^{2}}{4} = 1$$$.

Siis, $$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 3$$$, $$$b = 2$$$.

Standardimuoto on $$$\frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y^{2}}{2^{2}} = 1$$$.

Huippumuoto on $$$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$$$.

Yleinen muoto on $$$4 x^{2} + 9 y^{2} - 36 = 0$$$.

Lineaarinen eksentrisyys (polttopisteen etäisyys) on $$$c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{5}$$$.

Eksentrisyys on $$$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{3}$$$.

Ensimmäinen polttopiste on $$$\left(h - c, k\right) = \left(- \sqrt{5}, 0\right)$$$.

Toinen polttopiste on $$$\left(h + c, k\right) = \left(\sqrt{5}, 0\right)$$$.

Ensimmäinen kärkipiste on $$$\left(h - a, k\right) = \left(-3, 0\right)$$$.

Toinen kärkipiste on $$$\left(h + a, k\right) = \left(3, 0\right)$$$.

Ensimmäinen apukärkipiste on $$$\left(h, k - b\right) = \left(0, -2\right)$$$.

Toinen apukärki on $$$\left(h, k + b\right) = \left(0, 2\right)$$$.

Suuren akselin pituus on $$$2 a = 6$$$.

Pieniakselin pituus on $$$2 b = 4$$$.

Pinta-ala on $$$\pi a b = 6 \pi$$$.

Ympärysmitta on $$$4 a E\left(\frac{\pi}{2}\middle| e^{2}\right) = 12 E\left(\frac{5}{9}\right)$$$.

Fokaaliparametri on polttopisteen ja johtosuoran välinen etäisyys: $$$\frac{b^{2}}{c} = \frac{4 \sqrt{5}}{5}$$$.

Latera recta ovat sivuakselin suuntaiset suorat, jotka kulkevat polttopisteiden kautta.

Ensimmäinen suoramitta on $$$x = - \sqrt{5}$$$.

Toinen latus rectum on $$$x = \sqrt{5}$$$.

Ensimmäisen latus rectumin päätepisteet voidaan löytää ratkaisemalla yhtälöryhmän $$$\begin{cases} 4 x^{2} + 9 y^{2} - 36 = 0 \\ x = - \sqrt{5} \end{cases}$$$ (vaiheet: katso system of equations calculator).

Ensimmäisen latus rectumin päätepisteet ovat $$$\left(- \sqrt{5}, - \frac{4}{3}\right)$$$, $$$\left(- \sqrt{5}, \frac{4}{3}\right)$$$.

Toisen johtojänteen päätepisteet voidaan löytää ratkaisemalla järjestelmä $$$\begin{cases} 4 x^{2} + 9 y^{2} - 36 = 0 \\ x = \sqrt{5} \end{cases}$$$ (vaiheista, katso yhtälöryhmälaskin).

Toisen latus rectumin päätepisteet ovat $$$\left(\sqrt{5}, - \frac{4}{3}\right)$$$, $$$\left(\sqrt{5}, \frac{4}{3}\right)$$$.

Latera recta -jänteiden pituus (fokaalileveys) on $$$\frac{2 b^{2}}{a} = \frac{8}{3}$$$.

Ensimmäinen johtosuora on $$$x = h - \frac{a^{2}}{c} = - \frac{9 \sqrt{5}}{5}$$$.

Toinen johtosuora on $$$x = h + \frac{a^{2}}{c} = \frac{9 \sqrt{5}}{5}$$$.

x-akselin leikkauspisteet voidaan löytää asettamalla $$$y = 0$$$ yhtälöön ja ratkaisemalla $$$x$$$:n suhteen (vaiheet: katso leikkauspisteiden laskin).

x-akselin leikkauspisteet: $$$\left(-3, 0\right)$$$, $$$\left(3, 0\right)$$$

Y-akselin leikkauspisteet voidaan löytää asettamalla $$$x = 0$$$ yhtälöön ja ratkaisemalla $$$y$$$:n suhteen: (vaiheittaiset ohjeet, ks. leikkauspisteiden laskin).

y-akselin leikkauspisteet: $$$\left(0, -2\right)$$$, $$$\left(0, 2\right)$$$

Määrittelyjoukko on $$$\left[h - a, h + a\right] = \left[-3, 3\right]$$$.

Arvojoukko on $$$\left[k - b, k + b\right] = \left[-2, 2\right]$$$.

Standardimuoto/yhtälö: $$$\frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y^{2}}{2^{2}} = 1$$$A.

Huippumuoto/yhtälö: $$$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$$$A.

Yleinen muoto/yhtälö: $$$4 x^{2} + 9 y^{2} - 36 = 0$$$A.

Ensimmäinen polttopiste-johtosuoraesitys/yhtälö: $$$\left(x + \sqrt{5}\right)^{2} + y^{2} = \frac{5 \left(x + \frac{9 \sqrt{5}}{5}\right)^{2}}{9}$$$A.

Toinen polttopiste-johtosuora-muoto/yhtälö: $$$\left(x - \sqrt{5}\right)^{2} + y^{2} = \frac{5 \left(x - \frac{9 \sqrt{5}}{5}\right)^{2}}{9}$$$A.

Kuvaaja: katso graphing calculator.

Keskipiste: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

Ensimmäinen polttopiste: $$$\left(- \sqrt{5}, 0\right)\approx \left(-2.23606797749979, 0\right)$$$A.

Toinen polttopiste: $$$\left(\sqrt{5}, 0\right)\approx \left(2.23606797749979, 0\right)$$$A.

Ensimmäinen kärkipiste: $$$\left(-3, 0\right)$$$A.

Toinen kärkipiste: $$$\left(3, 0\right)$$$A.

Ensimmäinen sivukärkipiste: $$$\left(0, -2\right)$$$A.

Toinen sivukärkipiste: $$$\left(0, 2\right)$$$A.

Pääakselin pituus: $$$6$$$A.

Puolisuuren akselin pituus: $$$3$$$A.

Pieniakselin pituus: $$$4$$$A.

Pienen puoliakselin pituus: $$$2$$$A.

Pinta-ala: $$$6 \pi\approx 18.849555921538759$$$A.

Ympärysmitta: $$$12 E\left(\frac{5}{9}\right)\approx 15.86543958929059$$$A.

Ensimmäinen latus rectum: $$$x = - \sqrt{5}\approx -2.23606797749979$$$A.

Toinen latus rectum: $$$x = \sqrt{5}\approx 2.23606797749979$$$A.

Ensimmäisen johtojänteen päätepisteet: $$$\left(- \sqrt{5}, - \frac{4}{3}\right)\approx \left(-2.23606797749979, -1.333333333333333\right)$$$, $$$\left(- \sqrt{5}, \frac{4}{3}\right)\approx \left(-2.23606797749979, 1.333333333333333\right)$$$A.

Toisen polttojanan päätepisteet: $$$\left(\sqrt{5}, - \frac{4}{3}\right)\approx \left(2.23606797749979, -1.333333333333333\right)$$$, $$$\left(\sqrt{5}, \frac{4}{3}\right)\approx \left(2.23606797749979, 1.333333333333333\right)$$$A.

Latera recta -pituus (fokaalileveys): $$$\frac{8}{3}\approx 2.666666666666667$$$A.

Fokaaliparametri: $$$\frac{4 \sqrt{5}}{5}\approx 1.788854381999832$$$A.

Eksentrisyys: $$$\frac{\sqrt{5}}{3}\approx 0.74535599249993$$$A.

Lineaarinen eksentrisyys (fokaalietäisyys): $$$\sqrt{5}\approx 2.23606797749979$$$A.

Ensimmäinen johtosuora: $$$x = - \frac{9 \sqrt{5}}{5}\approx -4.024922359499621$$$A.

Toinen johtosuora: $$$x = \frac{9 \sqrt{5}}{5}\approx 4.024922359499621$$$A.

x-akselin leikkauspisteet: $$$\left(-3, 0\right)$$$, $$$\left(3, 0\right)$$$A.

y-akselin leikkauspisteet: $$$\left(0, -2\right)$$$, $$$\left(0, 2\right)$$$A.

Määrittelyjoukko: $$$\left[-3, 3\right]$$$A.

Arvojoukko: $$$\left[-2, 2\right]$$$A.