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橢圓$$$2 x^{2} + 9 y^{2} = 18$$$的性質
您的輸入
求橢圓 $$$2 x^{2} + 9 y^{2} = 18$$$ 的中心、焦點、頂點、副頂點、長軸長度、半長軸長度、短軸長度、半短軸長度、面積、周長、通徑、通徑的長度（焦寬）、焦參數、離心率、線離心率（焦距）、準線、x 軸截點、y 軸截點、定義域和值域。
解答
橢圓的方程式為 $$$\frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} + \frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} = 1$$$，其中 $$$\left(h, k\right)$$$ 為中心，$$$a$$$ 與 $$$b$$$ 分別為半長軸與半短軸的長度。
以此形式表示的橢圓為 $$$\frac{\left(x - 0\right)^{2}}{9} + \frac{\left(y - 0\right)^{2}}{2} = 1$$$。
因此，$$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 3$$$, $$$b = \sqrt{2}$$$。
標準形式為 $$$\frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y^{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}} = 1$$$。
頂點式為 $$$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{2} = 1$$$。
一般式為 $$$2 x^{2} + 9 y^{2} - 18 = 0$$$。
線離心距（半焦距）為 $$$c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{7}$$$。
離心率為 $$$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{7}}{3}$$$。
第一焦點為$$$\left(h - c, k\right) = \left(- \sqrt{7}, 0\right)$$$。
第二個焦點是$$$\left(h + c, k\right) = \left(\sqrt{7}, 0\right)$$$。
第一個頂點為 $$$\left(h - a, k\right) = \left(-3, 0\right)$$$。
第二個頂點為 $$$\left(h + a, k\right) = \left(3, 0\right)$$$。
第一個副頂點為 $$$\left(h, k - b\right) = \left(0, - \sqrt{2}\right)$$$。
第二個副頂點為 $$$\left(h, k + b\right) = \left(0, \sqrt{2}\right)$$$。
長軸的長度為 $$$2 a = 6$$$。
短軸的長度為 $$$2 b = 2 \sqrt{2}$$$。
面積為 $$$\pi a b = 3 \sqrt{2} \pi$$$。
圓周長為 $$$4 a E\left(\frac{\pi}{2}\middle| e^{2}\right) = 12 E\left(\frac{7}{9}\right)$$$。
焦準距是焦點與準線之間的距離: $$$\frac{b^{2}}{c} = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$$$.
準弦是與短軸平行並通過焦點的直線。
第一條準弦是 $$$x = - \sqrt{7}$$$。
第二條準通徑為 $$$x = \sqrt{7}$$$。
第一條準通徑的端點可透過解方程組 $$$\begin{cases} 2 x^{2} + 9 y^{2} - 18 = 0 \\ x = - \sqrt{7} \end{cases}$$$ 求得（步驟請參見 方程組計算器）。
第一條通徑的端點為 $$$\left(- \sqrt{7}, - \frac{2}{3}\right)$$$, $$$\left(- \sqrt{7}, \frac{2}{3}\right)$$$。
第二條通徑的端點可由解聯立方程組 $$$\begin{cases} 2 x^{2} + 9 y^{2} - 18 = 0 \\ x = \sqrt{7} \end{cases}$$$ 求得（步驟請參見 聯立方程組計算器）。
第二條通徑的端點為 $$$\left(\sqrt{7}, - \frac{2}{3}\right)$$$, $$$\left(\sqrt{7}, \frac{2}{3}\right)$$$。
準通徑（焦點弦）的長度為 $$$\frac{2 b^{2}}{a} = \frac{4}{3}$$$。
第一條準線為 $$$x = h - \frac{a^{2}}{c} = - \frac{9 \sqrt{7}}{7}$$$。
第二條準線為 $$$x = h + \frac{a^{2}}{c} = \frac{9 \sqrt{7}}{7}$$$。
可透過在方程中令 $$$y = 0$$$，並求解 $$$x$$$，來求得 x 截距（步驟請見 intercepts calculator）。
x 軸截距: $$$\left(-3, 0\right)$$$, $$$\left(3, 0\right)$$$
y 軸截距可透過將$$$x = 0$$$代入方程並解出$$$y$$$來求得：（步驟請參見 截距計算器）。
y 軸截距: $$$\left(0, - \sqrt{2}\right)$$$, $$$\left(0, \sqrt{2}\right)$$$
定義域為 $$$\left[h - a, h + a\right] = \left[-3, 3\right]$$$。
值域為 $$$\left[k - b, k + b\right] = \left[- \sqrt{2}, \sqrt{2}\right]$$$。
答案
標準式/方程式: $$$\frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y^{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}} = 1$$$A.
頂點式/方程式：$$$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{2} = 1$$$A。
一般式/方程式: $$$2 x^{2} + 9 y^{2} - 18 = 0$$$A.
第一組焦點-準線形式/方程式：$$$\left(x + \sqrt{7}\right)^{2} + y^{2} = \frac{7 \left(x + \frac{9 \sqrt{7}}{7}\right)^{2}}{9}$$$A。
第二焦點-準線形式/方程：$$$\left(x - \sqrt{7}\right)^{2} + y^{2} = \frac{7 \left(x - \frac{9 \sqrt{7}}{7}\right)^{2}}{9}$$$A
圖形：請參見繪圖計算器。
中心：$$$\left(0, 0\right)$$$A。
第一焦點：$$$\left(- \sqrt{7}, 0\right)\approx \left(-2.645751311064591, 0\right)$$$A。
第二焦點：$$$\left(\sqrt{7}, 0\right)\approx \left(2.645751311064591, 0\right)$$$A。
第一個頂點：$$$\left(-3, 0\right)$$$A。
第二個頂點: $$$\left(3, 0\right)$$$A.
第一個共頂點：$$$\left(0, - \sqrt{2}\right)\approx \left(0, -1.414213562373095\right)$$$A。
第二個副頂點：$$$\left(0, \sqrt{2}\right)\approx \left(0, 1.414213562373095\right)$$$A。
長軸長度：$$$6$$$A。
長半軸長度：$$$3$$$A。
短軸長度：$$$2 \sqrt{2}\approx 2.82842712474619$$$A。
短半軸長度：$$$\sqrt{2}\approx 1.414213562373095$$$A。
面積：$$$3 \sqrt{2} \pi\approx 13.328648814475099$$$A。
圓周長：$$$12 E\left(\frac{7}{9}\right)\approx 14.318823491478567$$$A。
第一準弦：$$$x = - \sqrt{7}\approx -2.645751311064591$$$A。
第二條通徑：$$$x = \sqrt{7}\approx 2.645751311064591$$$A。
第一條通徑的端點：$$$\left(- \sqrt{7}, - \frac{2}{3}\right)\approx \left(-2.645751311064591, -0.666666666666667\right)$$$, $$$\left(- \sqrt{7}, \frac{2}{3}\right)\approx \left(-2.645751311064591, 0.666666666666667\right)$$$A。
第二條準弦的端點：$$$\left(\sqrt{7}, - \frac{2}{3}\right)\approx \left(2.645751311064591, -0.666666666666667\right)$$$, $$$\left(\sqrt{7}, \frac{2}{3}\right)\approx \left(2.645751311064591, 0.666666666666667\right)$$$A。
準弦的長度（焦寬）：$$$\frac{4}{3}\approx 1.333333333333333$$$A。
焦點參數：$$$\frac{2 \sqrt{7}}{7}\approx 0.755928946018454$$$A。
離心率：$$$\frac{\sqrt{7}}{3}\approx 0.881917103688197$$$A。
離心距（焦點距離）：$$$\sqrt{7}\approx 2.645751311064591$$$A。
第一準線：$$$x = - \frac{9 \sqrt{7}}{7}\approx -3.401680257083045$$$A。
第二準線：$$$x = \frac{9 \sqrt{7}}{7}\approx 3.401680257083045$$$A。
x 軸截距：$$$\left(-3, 0\right)$$$, $$$\left(3, 0\right)$$$A。
y 軸截距：$$$\left(0, - \sqrt{2}\right)\approx \left(0, -1.414213562373095\right)$$$, $$$\left(0, \sqrt{2}\right)\approx \left(0, 1.414213562373095\right)$$$A。
定義域: $$$\left[-3, 3\right]$$$A.
值域：$$$\left[- \sqrt{2}, \sqrt{2}\right]\approx \left[-1.414213562373095, 1.414213562373095\right]$$$A。