拋物線計算器

求拋物線 $$$y = \left(x - 2\right)^{2} + 5$$$ 的頂點、焦點、準線、對稱軸、準弦、準弦長（焦寬）、焦點參數、焦距、離心率、x 軸截距、y 軸截距、定義域與值域。

拋物線的方程為 $$$y = \frac{1}{4 \left(f - k\right)} \left(x - h\right)^{2} + k$$$，其中 $$$\left(h, k\right)$$$ 為頂點，$$$\left(h, f\right)$$$ 為焦點。

在此形式下，我們的拋物線為 $$$y = \frac{1}{4 \left(\frac{21}{4} - 5\right)} \left(x - 2\right)^{2} + 5$$$。

因此，$$$h = 2$$$, $$$k = 5$$$, $$$f = \frac{21}{4}$$$。

標準形式為 $$$y = x^{2} - 4 x + 9$$$。

一般式為 $$$x^{2} - 4 x - y + 9 = 0$$$。

頂點式為 $$$y = \left(x - 2\right)^{2} + 5$$$。

準線為 $$$y = d$$$。

為了求$$$d$$$，利用焦點到頂點的距離與頂點到準線的距離相等：$$$5 - \frac{21}{4} = d - 5$$$。

因此，準線為 $$$y = \frac{19}{4}$$$。

對稱軸是垂直於準線且通過頂點與焦點的直線：$$$x = 2$$$

焦距是焦點與頂點之間的距離：$$$\frac{1}{4}$$$。

焦準距是焦點與準線之間的距離: $$$\frac{1}{2}$$$.

準弦與準線平行，並且通過焦點：$$$y = \frac{21}{4}$$$。

準弦的端點可由解方程組 $$$\begin{cases} x^{2} - 4 x - y + 9 = 0 \\ y = \frac{21}{4} \end{cases}$$$ 求得（步驟請參見 方程組計算器）。

準弦的端點為 $$$\left(\frac{3}{2}, \frac{21}{4}\right)$$$, $$$\left(\frac{5}{2}, \frac{21}{4}\right)$$$。

通徑（焦寬）的長度等於頂點與焦點之間距離的四倍：$$$1$$$。

拋物線的離心率恆為$$$1$$$。

可透過在方程中令 $$$y = 0$$$，並求解 $$$x$$$，來求得 x 截距（步驟請見 intercepts calculator）。

由於沒有實數解，因此沒有 x 截距。

y 軸截距可透過將$$$x = 0$$$代入方程並解出$$$y$$$來求得：（步驟請參見 截距計算器）。

y 截距：$$$\left(0, 9\right)$$$。

標準式/方程式: $$$y = x^{2} - 4 x + 9$$$A.

一般式/方程式: $$$x^{2} - 4 x - y + 9 = 0$$$A.

頂點式/方程式：$$$y = \left(x - 2\right)^{2} + 5$$$A。

焦點－準線形式/方程：$$$\left(x - 2\right)^{2} + \left(y - \frac{21}{4}\right)^{2} = \left(y - \frac{19}{4}\right)^{2}$$$A。

圖形：請參見繪圖計算器。

頂點：$$$\left(2, 5\right)$$$A。

焦點：$$$\left(2, \frac{21}{4}\right) = \left(2, 5.25\right)$$$A。

準線：$$$y = \frac{19}{4} = 4.75$$$A。

對稱軸：$$$x = 2$$$A。

準弦：$$$y = \frac{21}{4} = 5.25$$$A。

通徑的端點：$$$\left(\frac{3}{2}, \frac{21}{4}\right) = \left(1.5, 5.25\right)$$$, $$$\left(\frac{5}{2}, \frac{21}{4}\right) = \left(2.5, 5.25\right)$$$A。

準通徑（焦點寬度）的長度：$$$1$$$A.

焦點參數：$$$\frac{1}{2} = 0.5$$$A。

焦距：$$$\frac{1}{4} = 0.25$$$A。

離心率：$$$1$$$A。

x 軸截距：沒有 x 截距。

y 截距：$$$\left(0, 9\right)$$$A。

定義域: $$$\left(-\infty, \infty\right)$$$A.

值域：$$$\left[5, \infty\right)$$$A。