橢圓計算器

求橢圓 $$$4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$$$ 的中心、焦點、頂點、副頂點、長軸長度、半長軸長度、短軸長度、半短軸長度、面積、周長、通徑、通徑的長度（焦寬）、焦參數、離心率、線離心率（焦距）、準線、x 軸截點、y 軸截點、定義域和值域。

橢圓的方程式為 $$$\frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} + \frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} = 1$$$，其中 $$$\left(h, k\right)$$$ 為中心，$$$a$$$ 與 $$$b$$$ 分別為半長軸與半短軸的長度。

以此形式表示的橢圓為 $$$\frac{\left(x - 0\right)^{2}}{9} + \frac{\left(y - 0\right)^{2}}{4} = 1$$$。

因此，$$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 3$$$, $$$b = 2$$$。

標準形式為 $$$\frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y^{2}}{2^{2}} = 1$$$。

頂點式為 $$$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$$$。

一般式為 $$$4 x^{2} + 9 y^{2} - 36 = 0$$$。

線離心距（半焦距）為 $$$c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{5}$$$。

離心率為 $$$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{3}$$$。

第一焦點為$$$\left(h - c, k\right) = \left(- \sqrt{5}, 0\right)$$$。

第二個焦點是$$$\left(h + c, k\right) = \left(\sqrt{5}, 0\right)$$$。

第一個頂點為 $$$\left(h - a, k\right) = \left(-3, 0\right)$$$。

第二個頂點為 $$$\left(h + a, k\right) = \left(3, 0\right)$$$。

第一個副頂點為 $$$\left(h, k - b\right) = \left(0, -2\right)$$$。

第二個副頂點為 $$$\left(h, k + b\right) = \left(0, 2\right)$$$。

長軸的長度為 $$$2 a = 6$$$。

短軸的長度為 $$$2 b = 4$$$。

面積為 $$$\pi a b = 6 \pi$$$。

圓周長為 $$$4 a E\left(\frac{\pi}{2}\middle| e^{2}\right) = 12 E\left(\frac{5}{9}\right)$$$。

焦準距是焦點與準線之間的距離: $$$\frac{b^{2}}{c} = \frac{4 \sqrt{5}}{5}$$$.

準弦是與短軸平行並通過焦點的直線。

第一條準弦是 $$$x = - \sqrt{5}$$$。

第二條準通徑為 $$$x = \sqrt{5}$$$。

第一條準通徑的端點可透過解方程組 $$$\begin{cases} 4 x^{2} + 9 y^{2} - 36 = 0 \\ x = - \sqrt{5} \end{cases}$$$ 求得（步驟請參見 方程組計算器）。

第一條通徑的端點為 $$$\left(- \sqrt{5}, - \frac{4}{3}\right)$$$, $$$\left(- \sqrt{5}, \frac{4}{3}\right)$$$。

第二條通徑的端點可由解聯立方程組 $$$\begin{cases} 4 x^{2} + 9 y^{2} - 36 = 0 \\ x = \sqrt{5} \end{cases}$$$ 求得（步驟請參見 聯立方程組計算器）。

第二條通徑的端點為 $$$\left(\sqrt{5}, - \frac{4}{3}\right)$$$, $$$\left(\sqrt{5}, \frac{4}{3}\right)$$$。

準通徑（焦點弦）的長度為 $$$\frac{2 b^{2}}{a} = \frac{8}{3}$$$。

第一條準線為 $$$x = h - \frac{a^{2}}{c} = - \frac{9 \sqrt{5}}{5}$$$。

第二條準線為 $$$x = h + \frac{a^{2}}{c} = \frac{9 \sqrt{5}}{5}$$$。

可透過在方程中令 $$$y = 0$$$，並求解 $$$x$$$，來求得 x 截距（步驟請見 intercepts calculator）。

x 軸截距: $$$\left(-3, 0\right)$$$, $$$\left(3, 0\right)$$$

y 軸截距可透過將$$$x = 0$$$代入方程並解出$$$y$$$來求得：（步驟請參見 截距計算器）。

y 軸截距: $$$\left(0, -2\right)$$$, $$$\left(0, 2\right)$$$

定義域為 $$$\left[h - a, h + a\right] = \left[-3, 3\right]$$$。

值域為 $$$\left[k - b, k + b\right] = \left[-2, 2\right]$$$。

標準式/方程式: $$$\frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y^{2}}{2^{2}} = 1$$$A.

頂點式/方程式：$$$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$$$A。

一般式/方程式: $$$4 x^{2} + 9 y^{2} - 36 = 0$$$A.

第一組焦點-準線形式/方程式：$$$\left(x + \sqrt{5}\right)^{2} + y^{2} = \frac{5 \left(x + \frac{9 \sqrt{5}}{5}\right)^{2}}{9}$$$A。

第二焦點-準線形式/方程：$$$\left(x - \sqrt{5}\right)^{2} + y^{2} = \frac{5 \left(x - \frac{9 \sqrt{5}}{5}\right)^{2}}{9}$$$A

圖形：請參見繪圖計算器。

中心：$$$\left(0, 0\right)$$$A。

第一焦點：$$$\left(- \sqrt{5}, 0\right)\approx \left(-2.23606797749979, 0\right)$$$A。

第二焦點：$$$\left(\sqrt{5}, 0\right)\approx \left(2.23606797749979, 0\right)$$$A。

第一個頂點：$$$\left(-3, 0\right)$$$A。

第二個頂點: $$$\left(3, 0\right)$$$A.

第一個共頂點：$$$\left(0, -2\right)$$$A。

第二個副頂點：$$$\left(0, 2\right)$$$A。

長軸長度：$$$6$$$A。

長半軸長度：$$$3$$$A。

短軸長度：$$$4$$$A。

短半軸長度：$$$2$$$A。

面積：$$$6 \pi\approx 18.849555921538759$$$A。

圓周長：$$$12 E\left(\frac{5}{9}\right)\approx 15.86543958929059$$$A。

第一準弦：$$$x = - \sqrt{5}\approx -2.23606797749979$$$A。

第二條通徑：$$$x = \sqrt{5}\approx 2.23606797749979$$$A。

第一條通徑的端點：$$$\left(- \sqrt{5}, - \frac{4}{3}\right)\approx \left(-2.23606797749979, -1.333333333333333\right)$$$, $$$\left(- \sqrt{5}, \frac{4}{3}\right)\approx \left(-2.23606797749979, 1.333333333333333\right)$$$A。

第二條準弦的端點：$$$\left(\sqrt{5}, - \frac{4}{3}\right)\approx \left(2.23606797749979, -1.333333333333333\right)$$$, $$$\left(\sqrt{5}, \frac{4}{3}\right)\approx \left(2.23606797749979, 1.333333333333333\right)$$$A。

準弦的長度（焦寬）：$$$\frac{8}{3}\approx 2.666666666666667$$$A。

焦點參數：$$$\frac{4 \sqrt{5}}{5}\approx 1.788854381999832$$$A。

離心率：$$$\frac{\sqrt{5}}{3}\approx 0.74535599249993$$$A。

離心距（焦點距離）：$$$\sqrt{5}\approx 2.23606797749979$$$A。

第一準線：$$$x = - \frac{9 \sqrt{5}}{5}\approx -4.024922359499621$$$A。

第二準線：$$$x = \frac{9 \sqrt{5}}{5}\approx 4.024922359499621$$$A。

x 軸截距：$$$\left(-3, 0\right)$$$, $$$\left(3, 0\right)$$$A。

y 軸截距：$$$\left(0, -2\right)$$$, $$$\left(0, 2\right)$$$A。

定義域: $$$\left[-3, 3\right]$$$A.

值域：$$$\left[-2, 2\right]$$$A。