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楕円$$$2 x^{2} + 9 y^{2} = 18$$$の性質
入力内容
楕円 $$$2 x^{2} + 9 y^{2} = 18$$$ の中心、焦点、頂点、共役頂点、長軸の長さ、長半軸の長さ、短軸の長さ、短半軸の長さ、面積、周長、準弦、準弦の長さ（焦点幅）、準半径、離心率、線離心率（焦点距離）、準線、x切片、y切片、定義域、および値域を求めよ。
解答
楕円の方程式は$$$\frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} + \frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} = 1$$$であり、$$$\left(h, k\right)$$$は中心、$$$a$$$と$$$b$$$は半長軸および半短軸の長さです。
この形の楕円は$$$\frac{\left(x - 0\right)^{2}}{9} + \frac{\left(y - 0\right)^{2}}{2} = 1$$$です。
したがって、$$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 3$$$, $$$b = \sqrt{2}$$$。
標準形は$$$\frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y^{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}} = 1$$$です。
頂点形式は $$$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{2} = 1$$$ です。
一般形は$$$2 x^{2} + 9 y^{2} - 18 = 0$$$です。
離心距離（焦点距離）は $$$c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{7}$$$ です。
離心率は$$$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{7}}{3}$$$です。
第一焦点は$$$\left(h - c, k\right) = \left(- \sqrt{7}, 0\right)$$$です。
第2焦点は$$$\left(h + c, k\right) = \left(\sqrt{7}, 0\right)$$$です。
最初の頂点は $$$\left(h - a, k\right) = \left(-3, 0\right)$$$ です。
第2の頂点は$$$\left(h + a, k\right) = \left(3, 0\right)$$$です。
第1の副頂点は$$$\left(h, k - b\right) = \left(0, - \sqrt{2}\right)$$$です。
2つ目の副頂点は$$$\left(h, k + b\right) = \left(0, \sqrt{2}\right)$$$です。
長軸の長さは$$$2 a = 6$$$です。
短軸の長さは$$$2 b = 2 \sqrt{2}$$$です。
面積は$$$\pi a b = 3 \sqrt{2} \pi$$$です。
円周は$$$4 a E\left(\frac{\pi}{2}\middle| e^{2}\right) = 12 E\left(\frac{7}{9}\right)$$$です。
焦点パラメータは、焦点と準線の距離である: $$$\frac{b^{2}}{c} = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$$$
準通径は、各焦点を通り、短軸に平行な直線である。
第1通径は$$$x = - \sqrt{7}$$$です。
第2の準弦は$$$x = \sqrt{7}$$$です。
第1通径の端点は、連立方程式 $$$\begin{cases} 2 x^{2} + 9 y^{2} - 18 = 0 \\ x = - \sqrt{7} \end{cases}$$$ を解くことで求められます（手順は 連立方程式計算機 を参照）。
第1の準弦の端点は$$$\left(- \sqrt{7}, - \frac{2}{3}\right)$$$, $$$\left(- \sqrt{7}, \frac{2}{3}\right)$$$です。
第2の準弦の端点は、$$$\begin{cases} 2 x^{2} + 9 y^{2} - 18 = 0 \\ x = \sqrt{7} \end{cases}$$$ を解くことで求められます（手順については 連立方程式計算機 を参照してください）。
第2の準通径の端点は$$$\left(\sqrt{7}, - \frac{2}{3}\right)$$$, $$$\left(\sqrt{7}, \frac{2}{3}\right)$$$です。
準直径（焦点弦）の長さは $$$\frac{2 b^{2}}{a} = \frac{4}{3}$$$ です。
第一の準線は$$$x = h - \frac{a^{2}}{c} = - \frac{9 \sqrt{7}}{7}$$$です。
第二の準線は$$$x = h + \frac{a^{2}}{c} = \frac{9 \sqrt{7}}{7}$$$です。
x切片は、方程式で$$$y = 0$$$とおき、$$$x$$$について解くことで求められます（手順はintercepts calculatorを参照）。
x切片: $$$\left(-3, 0\right)$$$, $$$\left(3, 0\right)$$$
y切片は、方程式で$$$x = 0$$$とおき、$$$y$$$について解くことで求められます（手順はintercepts calculatorを参照してください）。
y切片: $$$\left(0, - \sqrt{2}\right)$$$, $$$\left(0, \sqrt{2}\right)$$$
定義域は$$$\left[h - a, h + a\right] = \left[-3, 3\right]$$$です。
値域は$$$\left[k - b, k + b\right] = \left[- \sqrt{2}, \sqrt{2}\right]$$$です。
解答
標準形/方程式: $$$\frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y^{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}} = 1$$$A.
頂点形/方程式: $$$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{2} = 1$$$A.
一般形/方程式: $$$2 x^{2} + 9 y^{2} - 18 = 0$$$A.
第1の焦点・準線の形/方程式: $$$\left(x + \sqrt{7}\right)^{2} + y^{2} = \frac{7 \left(x + \frac{9 \sqrt{7}}{7}\right)^{2}}{9}$$$A
第2の焦点-準線の形/方程式: $$$\left(x - \sqrt{7}\right)^{2} + y^{2} = \frac{7 \left(x - \frac{9 \sqrt{7}}{7}\right)^{2}}{9}$$$A.
グラフ：graphing calculatorを参照してください。
中心: $$$\left(0, 0\right)$$$A.
第一焦点: $$$\left(- \sqrt{7}, 0\right)\approx \left(-2.645751311064591, 0\right)$$$A.
第二焦点: $$$\left(\sqrt{7}, 0\right)\approx \left(2.645751311064591, 0\right)$$$A.
最初の頂点: $$$\left(-3, 0\right)$$$A。
第2の頂点: $$$\left(3, 0\right)$$$A.
第1副頂点：$$$\left(0, - \sqrt{2}\right)\approx \left(0, -1.414213562373095\right)$$$A。
第2の副頂点：$$$\left(0, \sqrt{2}\right)\approx \left(0, 1.414213562373095\right)$$$A。
長軸の長さ: $$$6$$$A.
長半径の長さ: $$$3$$$A.
短軸の長さ: $$$2 \sqrt{2}\approx 2.82842712474619$$$A.
短半径の長さ: $$$\sqrt{2}\approx 1.414213562373095$$$A.
面積：$$$3 \sqrt{2} \pi\approx 13.328648814475099$$$A。
円周：$$$12 E\left(\frac{7}{9}\right)\approx 14.318823491478567$$$A。
第1準弦: $$$x = - \sqrt{7}\approx -2.645751311064591$$$A.
第二準弦: $$$x = \sqrt{7}\approx 2.645751311064591$$$A.
第1の通径の端点: $$$\left(- \sqrt{7}, - \frac{2}{3}\right)\approx \left(-2.645751311064591, -0.666666666666667\right)$$$, $$$\left(- \sqrt{7}, \frac{2}{3}\right)\approx \left(-2.645751311064591, 0.666666666666667\right)$$$A。
第2通径の両端点: $$$\left(\sqrt{7}, - \frac{2}{3}\right)\approx \left(2.645751311064591, -0.666666666666667\right)$$$, $$$\left(\sqrt{7}, \frac{2}{3}\right)\approx \left(2.645751311064591, 0.666666666666667\right)$$$A.
準通径（焦点幅）の長さ: $$$\frac{4}{3}\approx 1.333333333333333$$$A
準通径: $$$\frac{2 \sqrt{7}}{7}\approx 0.755928946018454$$$A.
離心率：$$$\frac{\sqrt{7}}{3}\approx 0.881917103688197$$$A。
線離心率（焦点距離）: $$$\sqrt{7}\approx 2.645751311064591$$$A.
第1の準線: $$$x = - \frac{9 \sqrt{7}}{7}\approx -3.401680257083045$$$A.
第2の準線: $$$x = \frac{9 \sqrt{7}}{7}\approx 3.401680257083045$$$A.
x切片: $$$\left(-3, 0\right)$$$, $$$\left(3, 0\right)$$$A.
y切片：$$$\left(0, - \sqrt{2}\right)\approx \left(0, -1.414213562373095\right)$$$, $$$\left(0, \sqrt{2}\right)\approx \left(0, 1.414213562373095\right)$$$A。
定義域: $$$\left[-3, 3\right]$$$A.
値域：$$$\left[- \sqrt{2}, \sqrt{2}\right]\approx \left[-1.414213562373095, 1.414213562373095\right]$$$A。