|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Parabol Hesaplayıcı
Parabolleri adım adım çöz
Bu hesaplayıcı, verilen parametrelerden parabolün denklemini ya da girilen parabolün tepe noktası, odak, direktris, simetri ekseni, eşkenar, eşkenarın uzunluğu (odak genişliği), odak parametresi, odak uzaklığı (mesafe), eksantrisite, x-kesişimleri, y-kesişimleri, tanım kümesi ve değer kümesini bulur. Ayrıca parabolün grafiğini çizer. Adımlar mevcuttur.
İlgili hesaplayıcılar: Daire Hesaplayıcı, Elips Hesaplayıcı, Hiperbol Hesaplayıcı, Konik Kesit Hesaplayıcısı
Girdiniz
Parabol $$$y = \left(x - 2\right)^{2} + 5$$$ için tepe noktasını, odağını, doğrultmanını, simetri eksenini, odak kirişini, odak kirişinin uzunluğunu (odak genişliğini), odak parametresini, odak uzaklığını, eksantrikliğini, x-kesişimlerini, y-kesişimlerini, tanım kümesini ve değer kümesini bulun.
Çözüm
Bir parabolün denklemi $$$y = \frac{1}{4 \left(f - k\right)} \left(x - h\right)^{2} + k$$$ şeklindedir; burada $$$\left(h, k\right)$$$ tepe noktası, $$$\left(h, f\right)$$$ ise odaktır.
Bu formda parabolümüz $$$y = \frac{1}{4 \left(\frac{21}{4} - 5\right)} \left(x - 2\right)^{2} + 5$$$ şeklindedir.
Dolayısıyla, $$$h = 2$$$, $$$k = 5$$$, $$$f = \frac{21}{4}$$$.
Standart biçim $$$y = x^{2} - 4 x + 9$$$ şeklindedir.
Genel biçim $$$x^{2} - 4 x - y + 9 = 0$$$ şeklindedir.
Tepe noktası biçimi $$$y = \left(x - 2\right)^{2} + 5$$$.
Doğrultman $$$y = d$$$'dir.
$$$d$$$ değerini bulmak için, odaktan tepe noktasına olan uzaklığın tepe noktasından doğrultmana olan uzaklığa eşit olduğu gerçeğini kullanın: $$$5 - \frac{21}{4} = d - 5$$$.
Dolayısıyla, doğrultman $$$y = \frac{19}{4}$$$.
Simetri ekseni, doğrultmana dik olan ve tepe noktası ile odaktan geçen doğrudur: $$$x = 2$$$.
Odak uzaklığı, odak ile tepe noktası arasındaki mesafedir: $$$\frac{1}{4}$$$.
Odak parametresi, odak ile doğrultman arasındaki uzaklıktır: $$$\frac{1}{2}$$$.
Odak kirişi doğrultmana paraleldir ve odaktan geçer: $$$y = \frac{21}{4}$$$.
Odak kirişinin uç noktaları, $$$\begin{cases} x^{2} - 4 x - y + 9 = 0 \\ y = \frac{21}{4} \end{cases}$$$ sistemini çözerek bulunabilir (adımlar için bkz. denklem sistemi hesaplayıcısı).
Parametrenin uç noktaları $$$\left(\frac{3}{2}, \frac{21}{4}\right)$$$, $$$\left(\frac{5}{2}, \frac{21}{4}\right)$$$.
Odak kirişi (odak genişliği) uzunluğu, tepe noktası ile odak arasındaki mesafenin dört katıdır: $$$1$$$.
Bir parabolün dış merkezliği her zaman $$$1$$$ olur.
x-ekseni kesişimleri, denklemde $$$y = 0$$$ değerini verip $$$x$$$ için çözerek bulunabilir (adımlar için bkz. kesişimler hesaplayıcısı).
Gerçek kök olmadığı için x-eksenini kestiği noktalar yoktur.
y-kesişimleri, denklemde $$$x = 0$$$ alınarak ve $$$y$$$ için çözülerek bulunabilir: (adımlar için bkz. eksen kesim noktaları hesaplayıcısı).
y-ekseni kesişimi: $$$\left(0, 9\right)$$$.
Cevap
Standart form/denklem: $$$y = x^{2} - 4 x + 9$$$A.
Genel biçim/denklem: $$$x^{2} - 4 x - y + 9 = 0$$$A.
Tepe noktası biçimi/denklemi: $$$y = \left(x - 2\right)^{2} + 5$$$A.
Odak-doğrultman formu/denklemi: $$$\left(x - 2\right)^{2} + \left(y - \frac{21}{4}\right)^{2} = \left(y - \frac{19}{4}\right)^{2}$$$A.
Grafik: bkz. grafik hesap makinesi.
Tepe noktası: $$$\left(2, 5\right)$$$A.
Odak: $$$\left(2, \frac{21}{4}\right) = \left(2, 5.25\right)$$$A.
Doğrultman: $$$y = \frac{19}{4} = 4.75$$$A.
Simetri ekseni: $$$x = 2$$$A.
Latus rektum: $$$y = \frac{21}{4} = 5.25$$$A.
Parametrenin uç noktaları: $$$\left(\frac{3}{2}, \frac{21}{4}\right) = \left(1.5, 5.25\right)$$$, $$$\left(\frac{5}{2}, \frac{21}{4}\right) = \left(2.5, 5.25\right)$$$A.
Latus rectum (odak genişliği) uzunluğu: $$$1$$$A.
Odak parametresi: $$$\frac{1}{2} = 0.5$$$A.
Odak uzaklığı: $$$\frac{1}{4} = 0.25$$$A.
Dış merkezlik: $$$1$$$A.
x-kesişimleri: x ekseniyle kesişim yok.
y-ekseni kesişimi: $$$\left(0, 9\right)$$$A.
Tanım kümesi: $$$\left(-\infty, \infty\right)$$$A.
Değer kümesi: $$$\left[5, \infty\right)$$$A.