Parabelkalkylator

Bestäm toppunkt, brännpunkt, direktris, symmetriaxel, latus rectum, längden av latus rectum (fokalbredd), fokalparameter, brännvidd, excentricitet, x-skärningspunkter, y-skärningspunkter, definitionsmängd och värdemängd för parabeln $$$y = \left(x - 2\right)^{2} + 5$$$.

Ekvationen för en parabel är $$$y = \frac{1}{4 \left(f - k\right)} \left(x - h\right)^{2} + k$$$, där $$$\left(h, k\right)$$$ är toppunkten och $$$\left(h, f\right)$$$ är brännpunkten.

Vår parabel i denna form är $$$y = \frac{1}{4 \left(\frac{21}{4} - 5\right)} \left(x - 2\right)^{2} + 5$$$.

Således, $$$h = 2$$$, $$$k = 5$$$, $$$f = \frac{21}{4}$$$.

Standardformen är $$$y = x^{2} - 4 x + 9$$$.

Den allmänna formen är $$$x^{2} - 4 x - y + 9 = 0$$$.

Toppunktsformen är $$$y = \left(x - 2\right)^{2} + 5$$$.

Direktrisen är $$$y = d$$$.

För att bestämma $$$d$$$, använd det faktum att avståndet från brännpunkten till toppunkten är detsamma som avståndet från toppunkten till direktrisen: $$$5 - \frac{21}{4} = d - 5$$$.

Alltså är direktrisen $$$y = \frac{19}{4}$$$.

Symmetriaxeln är den räta linje som är vinkelrät mot direktrisen och går genom toppunkten och brännpunkten: $$$x = 2$$$.

Brännvidden är avståndet mellan fokus och toppunkten: $$$\frac{1}{4}$$$.

Fokalparametern är avståndet mellan brännpunkten och direktrisen: $$$\frac{1}{2}$$$.

Latus rectum är parallell med direktrisen och går genom brännpunkten: $$$y = \frac{21}{4}$$$.

Ändpunkterna för latus rectum kan bestämmas genom att lösa systemet $$$\begin{cases} x^{2} - 4 x - y + 9 = 0 \\ y = \frac{21}{4} \end{cases}$$$ (för stegen, se kalkylator för ekvationssystem).

Ändpunkterna för latus rectum är $$$\left(\frac{3}{2}, \frac{21}{4}\right)$$$, $$$\left(\frac{5}{2}, \frac{21}{4}\right)$$$.

Längden av latus rectum (fokalbredden) är fyra gånger avståndet mellan toppunkten och fokuset: $$$1$$$.

Excentriciteten för en parabel är alltid $$$1$$$.

x-skärningspunkterna kan bestämmas genom att sätta $$$y = 0$$$ i ekvationen och lösa ut $$$x$$$ (för stegen, se skärningspunktskalkylator).

Eftersom det inte finns några reella lösningar finns det inga skärningspunkter med x-axeln.

Y-skärningspunkterna kan bestämmas genom att sätta in $$$x = 0$$$ i ekvationen och lösa ut $$$y$$$: (för steg, se kalkylator för skärningspunkter).

skärningspunkt med y-axeln: $$$\left(0, 9\right)$$$.

Standardform/ekvation: $$$y = x^{2} - 4 x + 9$$$A.

Allmän form/ekvation: $$$x^{2} - 4 x - y + 9 = 0$$$A.

Toppunktsform/ekvation: $$$y = \left(x - 2\right)^{2} + 5$$$A.

Brännpunkt-direktrisform/ekvation: $$$\left(x - 2\right)^{2} + \left(y - \frac{21}{4}\right)^{2} = \left(y - \frac{19}{4}\right)^{2}$$$A.

Graf: se grafräknaren.

Toppunkt: $$$\left(2, 5\right)$$$A.

Brännpunkt: $$$\left(2, \frac{21}{4}\right) = \left(2, 5.25\right)$$$A.

Direktris: $$$y = \frac{19}{4} = 4.75$$$A.

Symmetrilinje: $$$x = 2$$$A.

Latus rectum: $$$y = \frac{21}{4} = 5.25$$$A.

Ändpunkter för latus rectum: $$$\left(\frac{3}{2}, \frac{21}{4}\right) = \left(1.5, 5.25\right)$$$, $$$\left(\frac{5}{2}, \frac{21}{4}\right) = \left(2.5, 5.25\right)$$$A.

Latus rectums längd (fokalbredd): $$$1$$$A.

Fokalparameter: $$$\frac{1}{2} = 0.5$$$A.

Brännvidd: $$$\frac{1}{4} = 0.25$$$A.

Excentricitet: $$$1$$$A.

x-skärningspunkter: inga skärningar med x-axeln.

skärningspunkt med y-axeln: $$$\left(0, 9\right)$$$A.

Definitionsmängd: $$$\left(-\infty, \infty\right)$$$A.

Värdemängd: $$$\left[5, \infty\right)$$$A.