Autovalores e autovetores de $$$\left[\begin{array}{cc}2 & 5\\-2 & -4\end{array}\right]$$$

Encontre os autovalores e os autovetores de $$$\left[\begin{array}{cc}2 & 5\\-2 & -4\end{array}\right]$$$.

Comece por formar uma nova matriz, subtraindo $$$\lambda$$$ dos elementos diagonais da matriz dada: $$$\left[\begin{array}{cc}2 - \lambda & 5\\-2 & - \lambda - 4\end{array}\right]$$$.

O determinante da matriz obtida é $$$\lambda^{2} + 2 \lambda + 2$$$ (para ver os passos, consulte calculadora de determinante).

Resolva a equação $$$\lambda^{2} + 2 \lambda + 2 = 0$$$.

As raízes são $$$\lambda_{1} = -1 - i$$$, $$$\lambda_{2} = -1 + i$$$ (para as etapas, veja equation solver).

Estes são os autovalores.

Em seguida, encontre os autovetores.

• $$$\lambda = -1 - i$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}2 - \lambda & 5\\-2 & - \lambda - 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3 + i & 5\\-2 & -3 + i\end{array}\right]$$$

  O espaço nulo desta matriz é $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{3}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (para ver os passos, consulte calculadora do espaço nulo).

  Este é o autovetor.

• $$$\lambda = -1 + i$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}2 - \lambda & 5\\-2 & - \lambda - 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3 - i & 5\\-2 & -3 - i\end{array}\right]$$$

  O espaço nulo desta matriz é $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{3}{2} - \frac{i}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (para ver os passos, consulte calculadora do espaço nulo).

  Este é o autovetor.

Autovalor: $$$-1 - i$$$A, multiplicidade: $$$1$$$A, autovetor: $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{3}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-1.5 + 0.5 i\\1\end{array}\right]$$$A.

Autovalor: $$$-1 + i$$$A, multiplicidade: $$$1$$$A, autovetor: $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{3}{2} - \frac{i}{2}\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-1.5 - 0.5 i\\1\end{array}\right]$$$A.