$$$\left[\begin{array}{cc}2 & 5\\-2 & -4\end{array}\right]$$$ 的特徵值與特徵向量

求$$$\left[\begin{array}{cc}2 & 5\\-2 & -4\end{array}\right]$$$的特徵值與特徵向量。

首先，將給定矩陣的主對角線元素各減去 $$$\lambda$$$，形成一個新矩陣：$$$\left[\begin{array}{cc}2 - \lambda & 5\\-2 & - \lambda - 4\end{array}\right]$$$。

所得矩陣的行列式為 $$$\lambda^{2} + 2 \lambda + 2$$$（步驟請參見 行列式計算器）。

求解方程式 $$$\lambda^{2} + 2 \lambda + 2 = 0$$$。

根為 $$$\lambda_{1} = -1 - i$$$, $$$\lambda_{2} = -1 + i$$$（步驟請參見方程求解器）。

這些是特徵值。

接著，求特徵向量。

• $$$\lambda = -1 - i$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}2 - \lambda & 5\\-2 & - \lambda - 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3 + i & 5\\-2 & -3 + i\end{array}\right]$$$

  此矩陣的零空間為 $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{3}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$（步驟請參見 零空間計算器）。

  這是特徵向量。

• $$$\lambda = -1 + i$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}2 - \lambda & 5\\-2 & - \lambda - 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3 - i & 5\\-2 & -3 - i\end{array}\right]$$$

  此矩陣的零空間為 $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{3}{2} - \frac{i}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$（步驟請參見 零空間計算器）。

  這是特徵向量。

特徵值：$$$-1 - i$$$A，重數：$$$1$$$A，特徵向量：$$$\left[\begin{array}{c}- \frac{3}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-1.5 + 0.5 i\\1\end{array}\right]$$$A。

特徵值：$$$-1 + i$$$A，重數：$$$1$$$A，特徵向量：$$$\left[\begin{array}{c}- \frac{3}{2} - \frac{i}{2}\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-1.5 - 0.5 i\\1\end{array}\right]$$$A。