$$$\left[\begin{array}{cc}2 & 5\\-2 & -4\end{array}\right]$$$'in özdeğerleri ve özvektörleri

$$$\left[\begin{array}{cc}2 & 5\\-2 & -4\end{array}\right]$$$ için özdeğerleri ve özvektörleri bulun.

Önce, verilen matrisin köşegen elemanlarından $$$\lambda$$$ çıkararak yeni bir matris oluşturun: $$$\left[\begin{array}{cc}2 - \lambda & 5\\-2 & - \lambda - 4\end{array}\right]$$$

Elde edilen matrisin determinantı $$$\lambda^{2} + 2 \lambda + 2$$$ (adımlar için bkz. determinant hesaplayıcısı).

Denklemi çözün $$$\lambda^{2} + 2 \lambda + 2 = 0$$$.

Kökler $$$\lambda_{1} = -1 - i$$$, $$$\lambda_{2} = -1 + i$$$ (adımlar için bkz. denklem çözücü).

Bunlar özdeğerlerdir.

Ardından, özvektörleri bulun.

• $$$\lambda = -1 - i$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}2 - \lambda & 5\\-2 & - \lambda - 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3 + i & 5\\-2 & -3 + i\end{array}\right]$$$

  Bu matrisin sıfır uzayı $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{3}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (adımlar için bkz. sıfır uzayı hesaplayıcısı).

  Bu, özvektördür.

• $$$\lambda = -1 + i$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}2 - \lambda & 5\\-2 & - \lambda - 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3 - i & 5\\-2 & -3 - i\end{array}\right]$$$

  Bu matrisin sıfır uzayı $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{3}{2} - \frac{i}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (adımlar için bkz. sıfır uzayı hesaplayıcısı).

  Bu, özvektördür.

Özdeğer: $$$-1 - i$$$A, çokluk: $$$1$$$A, özvektör: $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{3}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-1.5 + 0.5 i\\1\end{array}\right]$$$A.

Özdeğer: $$$-1 + i$$$A, çokluk: $$$1$$$A, özvektör: $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{3}{2} - \frac{i}{2}\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-1.5 - 0.5 i\\1\end{array}\right]$$$A.