Nilai eigen dan vektor eigen dari $$$\left[\begin{array}{cc}2 & 5\\-2 & -4\end{array}\right]$$$

Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari $$$\left[\begin{array}{cc}2 & 5\\-2 & -4\end{array}\right]$$$.

Mulailah dengan membentuk matriks baru dengan mengurangkan $$$\lambda$$$ dari entri-entri diagonal matriks yang diberikan: $$$\left[\begin{array}{cc}2 - \lambda & 5\\-2 & - \lambda - 4\end{array}\right]$$$.

Determinan matriks yang diperoleh adalah $$$\lambda^{2} + 2 \lambda + 2$$$ (untuk langkah-langkah, lihat kalkulator determinan).

Selesaikan persamaan $$$\lambda^{2} + 2 \lambda + 2 = 0$$$.

Akar-akarnya adalah $$$\lambda_{1} = -1 - i$$$, $$$\lambda_{2} = -1 + i$$$ (untuk langkah-langkahnya, lihat penyelesai persamaan).

Ini adalah nilai-nilai eigen.

Selanjutnya, cari vektor eigen.

• $$$\lambda = -1 - i$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}2 - \lambda & 5\\-2 & - \lambda - 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3 + i & 5\\-2 & -3 + i\end{array}\right]$$$

  Ruang nol dari matriks ini adalah $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{3}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (untuk langkah-langkahnya, lihat kalkulator ruang nol).

  Ini adalah vektor eigen.

• $$$\lambda = -1 + i$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}2 - \lambda & 5\\-2 & - \lambda - 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3 - i & 5\\-2 & -3 - i\end{array}\right]$$$

  Ruang nol dari matriks ini adalah $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{3}{2} - \frac{i}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (untuk langkah-langkahnya, lihat kalkulator ruang nol).

  Ini adalah vektor eigen.

Nilai eigen: $$$-1 - i$$$A, kelipatan: $$$1$$$A, vektor eigen: $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{3}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-1.5 + 0.5 i\\1\end{array}\right]$$$A.

Nilai eigen: $$$-1 + i$$$A, kelipatan: $$$1$$$A, vektor eigen: $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{3}{2} - \frac{i}{2}\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-1.5 - 0.5 i\\1\end{array}\right]$$$A.