Valeurs propres et vecteurs propres de $$$\left[\begin{array}{cc}2 & 5\\-2 & -4\end{array}\right]$$$

Trouvez les valeurs propres et les vecteurs propres de $$$\left[\begin{array}{cc}2 & 5\\-2 & -4\end{array}\right]$$$.

Commencez par former une nouvelle matrice en soustrayant $$$\lambda$$$ aux éléments de la diagonale de la matrice donnée : $$$\left[\begin{array}{cc}2 - \lambda & 5\\-2 & - \lambda - 4\end{array}\right]$$$.

Le déterminant de la matrice obtenue est $$$\lambda^{2} + 2 \lambda + 2$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de déterminant).

Résoudre l’équation $$$\lambda^{2} + 2 \lambda + 2 = 0$$$.

Les racines sont $$$\lambda_{1} = -1 - i$$$, $$$\lambda_{2} = -1 + i$$$ (pour les étapes, voir solveur d'équations).

Ce sont les valeurs propres.

Ensuite, trouvez les vecteurs propres.

• $$$\lambda = -1 - i$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}2 - \lambda & 5\\-2 & - \lambda - 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3 + i & 5\\-2 & -3 + i\end{array}\right]$$$

  L’espace nul de cette matrice est $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{3}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de l’espace nul).

  C'est le vecteur propre.

• $$$\lambda = -1 + i$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}2 - \lambda & 5\\-2 & - \lambda - 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3 - i & 5\\-2 & -3 - i\end{array}\right]$$$

  L’espace nul de cette matrice est $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{3}{2} - \frac{i}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de l’espace nul).

  C'est le vecteur propre.

Valeur propre : $$$-1 - i$$$A, multiplicité : $$$1$$$A, vecteurs propres : $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{3}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-1.5 + 0.5 i\\1\end{array}\right]$$$A.

Valeur propre : $$$-1 + i$$$A, multiplicité : $$$1$$$A, vecteurs propres : $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{3}{2} - \frac{i}{2}\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-1.5 - 0.5 i\\1\end{array}\right]$$$A.