Egenvärden och egenvektorer för $$$\left[\begin{array}{cc}2 & 5\\-2 & -4\end{array}\right]$$$

Bestäm egenvärdena och egenvektorerna till $$$\left[\begin{array}{cc}2 & 5\\-2 & -4\end{array}\right]$$$.

Börja med att bilda en ny matris genom att subtrahera $$$\lambda$$$ från diagonalelementen i den givna matrisen: $$$\left[\begin{array}{cc}2 - \lambda & 5\\-2 & - \lambda - 4\end{array}\right]$$$.

Determinanten av den resulterande matrisen är $$$\lambda^{2} + 2 \lambda + 2$$$ (för stegen, se determinantkalkylator).

Lös ekvationen $$$\lambda^{2} + 2 \lambda + 2 = 0$$$.

Rötterna är $$$\lambda_{1} = -1 - i$$$, $$$\lambda_{2} = -1 + i$$$ (för steg, se ekvationslösaren).

Dessa är egenvärdena.

Bestäm sedan egenvektorerna.

• $$$\lambda = -1 - i$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}2 - \lambda & 5\\-2 & - \lambda - 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3 + i & 5\\-2 & -3 + i\end{array}\right]$$$

  Nollrummet för denna matris är $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{3}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (för stegen, se nollrumsräknaren).

  Detta är egenvektorn.

• $$$\lambda = -1 + i$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}2 - \lambda & 5\\-2 & - \lambda - 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3 - i & 5\\-2 & -3 - i\end{array}\right]$$$

  Nollrummet för denna matris är $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{3}{2} - \frac{i}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (för stegen, se nollrumsräknaren).

  Detta är egenvektorn.

Egenvärde: $$$-1 - i$$$A, multiplicitet: $$$1$$$A, egenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{3}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-1.5 + 0.5 i\\1\end{array}\right]$$$A.

Egenvärde: $$$-1 + i$$$A, multiplicitet: $$$1$$$A, egenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{3}{2} - \frac{i}{2}\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-1.5 - 0.5 i\\1\end{array}\right]$$$A.