$$$\left[\begin{array}{cc}2 & 5\\-2 & -4\end{array}\right]$$$ 的特征值和特征向量

求$$$\left[\begin{array}{cc}2 & 5\\-2 & -4\end{array}\right]$$$的特征值和特征向量。

首先，通过将给定矩阵 $$$\left[\begin{array}{cc}2 - \lambda & 5\\-2 & - \lambda - 4\end{array}\right]$$$ 的对角元素减去$$$\lambda$$$ 来构造一个新矩阵。

所得矩阵的行列式为 $$$\lambda^{2} + 2 \lambda + 2$$$（步骤参见行列式计算器）。

解方程$$$\lambda^{2} + 2 \lambda + 2 = 0$$$。

根为$$$\lambda_{1} = -1 - i$$$, $$$\lambda_{2} = -1 + i$$$（步骤见方程求解器）。

这些是特征值。

接下来，求特征向量。

• $$$\lambda = -1 - i$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}2 - \lambda & 5\\-2 & - \lambda - 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3 + i & 5\\-2 & -3 + i\end{array}\right]$$$

  该矩阵的零空间为 $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{3}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (步骤详见 零空间计算器).

  这是特征向量。

• $$$\lambda = -1 + i$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}2 - \lambda & 5\\-2 & - \lambda - 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3 - i & 5\\-2 & -3 - i\end{array}\right]$$$

  该矩阵的零空间为 $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{3}{2} - \frac{i}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (步骤详见 零空间计算器).

  这是特征向量。

特征值：$$$-1 - i$$$A，重数：$$$1$$$A，特征向量：$$$\left[\begin{array}{c}- \frac{3}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-1.5 + 0.5 i\\1\end{array}\right]$$$A。

特征值：$$$-1 + i$$$A，重数：$$$1$$$A，特征向量：$$$\left[\begin{array}{c}- \frac{3}{2} - \frac{i}{2}\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-1.5 - 0.5 i\\1\end{array}\right]$$$A。