Integral de $$$e^{\tan{\left(x \right)}} \sec^{2}{\left(x \right)}$$$

Encontre $$$\int e^{\tan{\left(x \right)}} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx$$$.

Seja $$$u=\tan{\left(x \right)}$$$.

Então $$$du=\left(\tan{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = \sec^{2}{\left(x \right)} dx$$$ (veja os passos »), e obtemos $$$\sec^{2}{\left(x \right)} dx = du$$$.

Logo,

$${\color{red}{\int{e^{\tan{\left(x \right)}} \sec^{2}{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}$$

A integral da função exponencial é $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = {\color{red}{e^{u}}}$$

Recorde que $$$u=\tan{\left(x \right)}$$$:

$$e^{{\color{red}{u}}} = e^{{\color{red}{\tan{\left(x \right)}}}}$$

Portanto,

$$\int{e^{\tan{\left(x \right)}} \sec^{2}{\left(x \right)} d x} = e^{\tan{\left(x \right)}}$$

Adicione a constante de integração:

$$\int{e^{\tan{\left(x \right)}} \sec^{2}{\left(x \right)} d x} = e^{\tan{\left(x \right)}}+C$$

$$$\int e^{\tan{\left(x \right)}} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = e^{\tan{\left(x \right)}} + C$$$A