$$$e^{\tan{\left(x \right)}} \sec^{2}{\left(x \right)}$$$の積分

$$$\int e^{\tan{\left(x \right)}} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\tan{\left(x \right)}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\tan{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = \sec^{2}{\left(x \right)} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$\sec^{2}{\left(x \right)} dx = du$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{e^{\tan{\left(x \right)}} \sec^{2}{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$${\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = {\color{red}{e^{u}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\tan{\left(x \right)}$$$:

$$e^{{\color{red}{u}}} = e^{{\color{red}{\tan{\left(x \right)}}}}$$

したがって、

$$\int{e^{\tan{\left(x \right)}} \sec^{2}{\left(x \right)} d x} = e^{\tan{\left(x \right)}}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{\tan{\left(x \right)}} \sec^{2}{\left(x \right)} d x} = e^{\tan{\left(x \right)}}+C$$

$$$\int e^{\tan{\left(x \right)}} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = e^{\tan{\left(x \right)}} + C$$$A