Integrale di $$$e^{\tan{\left(x \right)}} \sec^{2}{\left(x \right)}$$$

Trova $$$\int e^{\tan{\left(x \right)}} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx$$$.

Sia $$$u=\tan{\left(x \right)}$$$.

Quindi $$$du=\left(\tan{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = \sec^{2}{\left(x \right)} dx$$$ (i passaggi si possono vedere »), e si ha che $$$\sec^{2}{\left(x \right)} dx = du$$$.

Pertanto,

$${\color{red}{\int{e^{\tan{\left(x \right)}} \sec^{2}{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}$$

L'integrale della funzione esponenziale è $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = {\color{red}{e^{u}}}$$

Ricordiamo che $$$u=\tan{\left(x \right)}$$$:

$$e^{{\color{red}{u}}} = e^{{\color{red}{\tan{\left(x \right)}}}}$$

Pertanto,

$$\int{e^{\tan{\left(x \right)}} \sec^{2}{\left(x \right)} d x} = e^{\tan{\left(x \right)}}$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{e^{\tan{\left(x \right)}} \sec^{2}{\left(x \right)} d x} = e^{\tan{\left(x \right)}}+C$$

$$$\int e^{\tan{\left(x \right)}} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = e^{\tan{\left(x \right)}} + C$$$A