Intégrale de $$$- \frac{e^{- x}}{x}$$$

Déterminez $$$\int \left(- \frac{e^{- x}}{x}\right)\, dx$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=-1$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \frac{e^{- x}}{x}$$$ :

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{- x}}{x}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{e^{- x}}{x} d x}\right)}}$$

Soit $$$u=- x$$$.

Alors $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = - du$$$.

L’intégrale devient

$$- {\color{red}{\int{\frac{e^{- x}}{x} d x}}} = - {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{u} d u}}}$$

Cette intégrale (Intégrale exponentielle) n’admet pas de forme fermée :

$$- {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{u} d u}}} = - {\color{red}{\operatorname{Ei}{\left(u \right)}}}$$

Rappelons que $$$u=- x$$$ :

$$- \operatorname{Ei}{\left({\color{red}{u}} \right)} = - \operatorname{Ei}{\left({\color{red}{\left(- x\right)}} \right)}$$

Par conséquent,

$$\int{\left(- \frac{e^{- x}}{x}\right)d x} = - \operatorname{Ei}{\left(- x \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\left(- \frac{e^{- x}}{x}\right)d x} = - \operatorname{Ei}{\left(- x \right)}+C$$

$$$\int \left(- \frac{e^{- x}}{x}\right)\, dx = - \operatorname{Ei}{\left(- x \right)} + C$$$A