|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Μοναδιαίο εφαπτομενικό διάνυσμα για $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle \sqrt{2} \sqrt{t}, e^{t}, e^{- t}\right\rangle$$$
Σχετικοί υπολογιστές: Υπολογιστής μοναδιαίου κανονικού διανύσματος, Υπολογιστής Μοναδιαίου Δικανονικού Διανύσματος
Η είσοδός σας
Βρείτε το μοναδιαίο εφαπτομενικό διάνυσμα για $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle \sqrt{2} \sqrt{t}, e^{t}, e^{- t}\right\rangle$$$.
Λύση
Για να βρούμε το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα, πρέπει να βρούμε την παράγωγο του $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}$$$ (του εφαπτόμενου διανύσματος) και στη συνέχεια να το κανονικοποιήσουμε (να βρούμε το μοναδιαίο διάνυσμα).
$$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{t}}, e^{t}, - e^{- t}\right\rangle$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής παραγώγων).
Βρείτε το μοναδιαίο διάνυσμα: $$$\mathbf{\vec{T}\left(t\right)} = \left\langle \frac{e^{t} \sqrt{\left|{t}\right|}}{\sqrt{t} \sqrt{2 e^{4 t} \left|{t}\right| + e^{2 t} + 2 \left|{t}\right|}}, \frac{e^{t}}{\sqrt{e^{2 t} + \frac{1}{2 \left|{t}\right|} + e^{- 2 t}}}, - \frac{e^{- t}}{\sqrt{e^{2 t} + \frac{1}{2 \left|{t}\right|} + e^{- 2 t}}}\right\rangle$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μοναδιαίου διανύσματος).
Απάντηση
Το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα είναι $$$\mathbf{\vec{T}\left(t\right)} = \left\langle \frac{e^{t} \sqrt{\left|{t}\right|}}{\sqrt{t} \sqrt{2 e^{4 t} \left|{t}\right| + e^{2 t} + 2 \left|{t}\right|}}, \frac{e^{t}}{\sqrt{e^{2 t} + \frac{1}{2 \left|{t}\right|} + e^{- 2 t}}}, - \frac{e^{- t}}{\sqrt{e^{2 t} + \frac{1}{2 \left|{t}\right|} + e^{- 2 t}}}\right\rangle.$$$A