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Einheits-Tangentenvektor für $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle \sqrt{2} \sqrt{t}, e^{t}, e^{- t}\right\rangle$$$
Ähnliche Rechner: Einheitsnormalenvektor-Rechner, Rechner für den Einheits-Binormalenvektor
Ihre Eingabe
Bestimme den Einheits-Tangentenvektor zu $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle \sqrt{2} \sqrt{t}, e^{t}, e^{- t}\right\rangle$$$.
Lösung
Um den Einheits-Tangentvektor zu finden, müssen wir die Ableitung von $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}$$$ (dem Tangentenvektor) berechnen und ihn anschließend normalisieren (den Einheitsvektor bestimmen).
$$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{t}}, e^{t}, - e^{- t}\right\rangle$$$ (für die Rechenschritte siehe Ableitungsrechner).
Bestimme den Einheitsvektor: $$$\mathbf{\vec{T}\left(t\right)} = \left\langle \frac{e^{t} \sqrt{\left|{t}\right|}}{\sqrt{t} \sqrt{2 e^{4 t} \left|{t}\right| + e^{2 t} + 2 \left|{t}\right|}}, \frac{e^{t}}{\sqrt{e^{2 t} + \frac{1}{2 \left|{t}\right|} + e^{- 2 t}}}, - \frac{e^{- t}}{\sqrt{e^{2 t} + \frac{1}{2 \left|{t}\right|} + e^{- 2 t}}}\right\rangle$$$ (für die Schritte siehe Einheitsvektor-Rechner).
Antwort
Der Einheits-Tangentenvektor ist $$$\mathbf{\vec{T}\left(t\right)} = \left\langle \frac{e^{t} \sqrt{\left|{t}\right|}}{\sqrt{t} \sqrt{2 e^{4 t} \left|{t}\right| + e^{2 t} + 2 \left|{t}\right|}}, \frac{e^{t}}{\sqrt{e^{2 t} + \frac{1}{2 \left|{t}\right|} + e^{- 2 t}}}, - \frac{e^{- t}}{\sqrt{e^{2 t} + \frac{1}{2 \left|{t}\right|} + e^{- 2 t}}}\right\rangle.$$$A