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Integral von $$$e^{- \frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}}$$$ nach $$$x$$$
Verwandter Rechner: Rechner für bestimmte und uneigentliche Integrale
Ihre Eingabe
Bestimme $$$\int e^{- \frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}}\, dx$$$.
Lösung
Sei $$$u=\frac{\sqrt{2} x}{2 \left|{\sigma}\right|}$$$.
Dann $$$du=\left(\frac{\sqrt{2} x}{2 \left|{\sigma}\right|}\right)^{\prime }dx = \frac{\sqrt{2}}{2 \left|{\sigma}\right|} dx$$$ (die Schritte sind » zu sehen), und es gilt $$$dx = \sqrt{2} \left|{\sigma}\right| du$$$.
Das Integral wird zu
$${\color{red}{\int{e^{- \frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}} d x}}} = {\color{red}{\int{\sqrt{2} e^{- u^{2}} \left|{\sigma}\right| d u}}}$$
Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ mit $$$c=\sqrt{2} \left|{\sigma}\right|$$$ und $$$f{\left(u \right)} = e^{- u^{2}}$$$ an:
$${\color{red}{\int{\sqrt{2} e^{- u^{2}} \left|{\sigma}\right| d u}}} = {\color{red}{\sqrt{2} \left|{\sigma}\right| \int{e^{- u^{2}} d u}}}$$
Dieses Integral (Fehlerfunktion) besitzt keine geschlossene Form:
$$\sqrt{2} \left|{\sigma}\right| {\color{red}{\int{e^{- u^{2}} d u}}} = \sqrt{2} \left|{\sigma}\right| {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(u \right)}}{2}\right)}}$$
Zur Erinnerung: $$$u=\frac{\sqrt{2} x}{2 \left|{\sigma}\right|}$$$:
$$\frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \left|{\sigma}\right| \operatorname{erf}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \left|{\sigma}\right| \operatorname{erf}{\left({\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2 \left|{\sigma}\right|}\right)}} \right)}}{2}$$
Daher,
$$\int{e^{- \frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}} d x} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \left|{\sigma}\right| \operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2 \left|{\sigma}\right|} \right)}}{2}$$
Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:
$$\int{e^{- \frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}} d x} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \left|{\sigma}\right| \operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2 \left|{\sigma}\right|} \right)}}{2}+C$$
Antwort
$$$\int e^{- \frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}}\, dx = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \left|{\sigma}\right| \operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2 \left|{\sigma}\right|} \right)}}{2} + C$$$A