|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Integraali $$$e^{- \frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}}$$$:stä muuttujan $$$x$$$ suhteen
Aiheeseen liittyvä laskin: Määrättyjen ja epäoleellisten integraalien laskin
Syötteesi
Määritä $$$\int e^{- \frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}}\, dx$$$.
Ratkaisu
Olkoon $$$u=\frac{\sqrt{2} x}{2 \left|{\sigma}\right|}$$$.
Tällöin $$$du=\left(\frac{\sqrt{2} x}{2 \left|{\sigma}\right|}\right)^{\prime }dx = \frac{\sqrt{2}}{2 \left|{\sigma}\right|} dx$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$dx = \sqrt{2} \left|{\sigma}\right| du$$$.
Näin ollen,
$${\color{red}{\int{e^{- \frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}} d x}}} = {\color{red}{\int{\sqrt{2} e^{- u^{2}} \left|{\sigma}\right| d u}}}$$
Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ käyttäen $$$c=\sqrt{2} \left|{\sigma}\right|$$$ ja $$$f{\left(u \right)} = e^{- u^{2}}$$$:
$${\color{red}{\int{\sqrt{2} e^{- u^{2}} \left|{\sigma}\right| d u}}} = {\color{red}{\sqrt{2} \left|{\sigma}\right| \int{e^{- u^{2}} d u}}}$$
Tällä integraalilla (Virhefunktio) ei ole suljettua muotoa:
$$\sqrt{2} \left|{\sigma}\right| {\color{red}{\int{e^{- u^{2}} d u}}} = \sqrt{2} \left|{\sigma}\right| {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(u \right)}}{2}\right)}}$$
Muista, että $$$u=\frac{\sqrt{2} x}{2 \left|{\sigma}\right|}$$$:
$$\frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \left|{\sigma}\right| \operatorname{erf}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \left|{\sigma}\right| \operatorname{erf}{\left({\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2 \left|{\sigma}\right|}\right)}} \right)}}{2}$$
Näin ollen,
$$\int{e^{- \frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}} d x} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \left|{\sigma}\right| \operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2 \left|{\sigma}\right|} \right)}}{2}$$
Lisää integrointivakio:
$$\int{e^{- \frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}} d x} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \left|{\sigma}\right| \operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2 \left|{\sigma}\right|} \right)}}{2}+C$$
Vastaus
$$$\int e^{- \frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}}\, dx = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \left|{\sigma}\right| \operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2 \left|{\sigma}\right|} \right)}}{2} + C$$$A