Intégrale de $$$e^{- \frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}}$$$ par rapport à $$$x$$$

Déterminez $$$\int e^{- \frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}}\, dx$$$.

Soit $$$u=\frac{\sqrt{2} x}{2 \left|{\sigma}\right|}$$$.

Alors $$$du=\left(\frac{\sqrt{2} x}{2 \left|{\sigma}\right|}\right)^{\prime }dx = \frac{\sqrt{2}}{2 \left|{\sigma}\right|} dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = \sqrt{2} \left|{\sigma}\right| du$$$.

Par conséquent,

$${\color{red}{\int{e^{- \frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}} d x}}} = {\color{red}{\int{\sqrt{2} e^{- u^{2}} \left|{\sigma}\right| d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\sqrt{2} \left|{\sigma}\right|$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{- u^{2}}$$$ :

$${\color{red}{\int{\sqrt{2} e^{- u^{2}} \left|{\sigma}\right| d u}}} = {\color{red}{\sqrt{2} \left|{\sigma}\right| \int{e^{- u^{2}} d u}}}$$

Cette intégrale (Fonction d'erreur) n’admet pas de forme fermée :

$$\sqrt{2} \left|{\sigma}\right| {\color{red}{\int{e^{- u^{2}} d u}}} = \sqrt{2} \left|{\sigma}\right| {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(u \right)}}{2}\right)}}$$

Rappelons que $$$u=\frac{\sqrt{2} x}{2 \left|{\sigma}\right|}$$$ :

$$\frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \left|{\sigma}\right| \operatorname{erf}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \left|{\sigma}\right| \operatorname{erf}{\left({\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2 \left|{\sigma}\right|}\right)}} \right)}}{2}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{- \frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}} d x} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \left|{\sigma}\right| \operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2 \left|{\sigma}\right|} \right)}}{2}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{- \frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}} d x} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \left|{\sigma}\right| \operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2 \left|{\sigma}\right|} \right)}}{2}+C$$

$$$\int e^{- \frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}}\, dx = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \left|{\sigma}\right| \operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2 \left|{\sigma}\right|} \right)}}{2} + C$$$A