$$$e^{- \frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}}$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int e^{- \frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\frac{\sqrt{2} x}{2 \left|{\sigma}\right|}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{\sqrt{2} x}{2 \left|{\sigma}\right|}\right)^{\prime }dx = \frac{\sqrt{2}}{2 \left|{\sigma}\right|} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \sqrt{2} \left|{\sigma}\right| du$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{e^{- \frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}} d x}}} = {\color{red}{\int{\sqrt{2} e^{- u^{2}} \left|{\sigma}\right| d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\sqrt{2} \left|{\sigma}\right|$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{- u^{2}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\sqrt{2} e^{- u^{2}} \left|{\sigma}\right| d u}}} = {\color{red}{\sqrt{2} \left|{\sigma}\right| \int{e^{- u^{2}} d u}}}$$

この積分（誤差関数）には閉形式はありません:

$$\sqrt{2} \left|{\sigma}\right| {\color{red}{\int{e^{- u^{2}} d u}}} = \sqrt{2} \left|{\sigma}\right| {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(u \right)}}{2}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{\sqrt{2} x}{2 \left|{\sigma}\right|}$$$:

$$\frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \left|{\sigma}\right| \operatorname{erf}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \left|{\sigma}\right| \operatorname{erf}{\left({\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2 \left|{\sigma}\right|}\right)}} \right)}}{2}$$

したがって、

$$\int{e^{- \frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}} d x} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \left|{\sigma}\right| \operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2 \left|{\sigma}\right|} \right)}}{2}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{- \frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}} d x} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \left|{\sigma}\right| \operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2 \left|{\sigma}\right|} \right)}}{2}+C$$

$$$\int e^{- \frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}}\, dx = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \left|{\sigma}\right| \operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2 \left|{\sigma}\right|} \right)}}{2} + C$$$A