Integralen av $$$e^{- \frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}}$$$ med avseende på $$$x$$$

Bestäm $$$\int e^{- \frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}}\, dx$$$.

Låt $$$u=\frac{\sqrt{2} x}{2 \left|{\sigma}\right|}$$$ vara.

Då $$$du=\left(\frac{\sqrt{2} x}{2 \left|{\sigma}\right|}\right)^{\prime }dx = \frac{\sqrt{2}}{2 \left|{\sigma}\right|} dx$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dx = \sqrt{2} \left|{\sigma}\right| du$$$.

Alltså,

$${\color{red}{\int{e^{- \frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}} d x}}} = {\color{red}{\int{\sqrt{2} e^{- u^{2}} \left|{\sigma}\right| d u}}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ med $$$c=\sqrt{2} \left|{\sigma}\right|$$$ och $$$f{\left(u \right)} = e^{- u^{2}}$$$:

$${\color{red}{\int{\sqrt{2} e^{- u^{2}} \left|{\sigma}\right| d u}}} = {\color{red}{\sqrt{2} \left|{\sigma}\right| \int{e^{- u^{2}} d u}}}$$

Denna integral (Felintegral) har ingen sluten form:

$$\sqrt{2} \left|{\sigma}\right| {\color{red}{\int{e^{- u^{2}} d u}}} = \sqrt{2} \left|{\sigma}\right| {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(u \right)}}{2}\right)}}$$

Kom ihåg att $$$u=\frac{\sqrt{2} x}{2 \left|{\sigma}\right|}$$$:

$$\frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \left|{\sigma}\right| \operatorname{erf}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \left|{\sigma}\right| \operatorname{erf}{\left({\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2 \left|{\sigma}\right|}\right)}} \right)}}{2}$$

Alltså,

$$\int{e^{- \frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}} d x} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \left|{\sigma}\right| \operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2 \left|{\sigma}\right|} \right)}}{2}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{e^{- \frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}} d x} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \left|{\sigma}\right| \operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2 \left|{\sigma}\right|} \right)}}{2}+C$$

$$$\int e^{- \frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}}\, dx = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \left|{\sigma}\right| \operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2 \left|{\sigma}\right|} \right)}}{2} + C$$$A