Propriedades da hipérbole $$$x^{2} - y^{2} = 1$$$

Encontre o centro, os focos, os vértices, os co-vértices, o comprimento do eixo maior, o comprimento do semi-eixo maior, o comprimento do eixo menor, o comprimento do semi-eixo menor, os latera recta, o comprimento dos latera recta (largura focal), o parâmetro focal, a excentricidade, a excentricidade linear (distância focal), as diretrizes, as assíntotas, os interceptos em x, os interceptos em y, o domínio e a imagem da hipérbole $$$x^{2} - y^{2} = 1$$$.

A equação de uma hipérbole é $$$\frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} - \frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} = 1$$$, em que $$$\left(h, k\right)$$$ é o centro e $$$a$$$ e $$$b$$$ são os comprimentos dos semi-eixos transverso e conjugado.

Nossa hipérbole nesta forma é $$$\frac{\left(x - 0\right)^{2}}{1} - \frac{\left(y - 0\right)^{2}}{1} = 1$$$.

Assim, $$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 1$$$, $$$b = 1$$$.

A forma padrão é $$$\frac{x^{2}}{1^{2}} - \frac{y^{2}}{1^{2}} = 1$$$.

A forma de vértice é $$$x^{2} - y^{2} = 1$$$.

A forma geral é $$$x^{2} - y^{2} - 1 = 0$$$.

A excentricidade linear (distância focal) é $$$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{2}$$$.

A excentricidade é $$$e = \frac{c}{a} = \sqrt{2}$$$.

O primeiro foco é $$$\left(h - c, k\right) = \left(- \sqrt{2}, 0\right)$$$.

O segundo foco é $$$\left(h + c, k\right) = \left(\sqrt{2}, 0\right)$$$.

O primeiro vértice é $$$\left(h - a, k\right) = \left(-1, 0\right)$$$.

O segundo vértice é $$$\left(h + a, k\right) = \left(1, 0\right)$$$.

O primeiro co-vértice é $$$\left(h, k - b\right) = \left(0, -1\right)$$$.

O segundo co-vértice é $$$\left(h, k + b\right) = \left(0, 1\right)$$$.

O comprimento do eixo maior é $$$2 a = 2$$$.

O comprimento do eixo menor é $$$2 b = 2$$$.

O parâmetro focal é a distância entre o foco e a diretriz: $$$\frac{b^{2}}{c} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$$.

Os latera recta são as retas paralelas ao eixo menor que passam pelos focos.

O primeiro lado reto é $$$x = - \sqrt{2}$$$.

O segundo lado reto é $$$x = \sqrt{2}$$$.

As extremidades do primeiro lado reto podem ser encontradas resolvendo o sistema $$$\begin{cases} x^{2} - y^{2} - 1 = 0 \\ x = - \sqrt{2} \end{cases}$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de sistemas de equações).

As extremidades do primeiro lado reto são $$$\left(- \sqrt{2}, -1\right)$$$, $$$\left(- \sqrt{2}, 1\right)$$$.

As extremidades do segundo lado reto podem ser encontradas resolvendo o sistema $$$\begin{cases} x^{2} - y^{2} - 1 = 0 \\ x = \sqrt{2} \end{cases}$$$ (para ver os passos, veja calculadora de sistemas de equações).

Os extremos do segundo lado reto são $$$\left(\sqrt{2}, -1\right)$$$, $$$\left(\sqrt{2}, 1\right)$$$.

O comprimento dos lados retos (largura focal) é $$$\frac{2 b^{2}}{a} = 2$$$.

A primeira diretriz é $$$x = h - \frac{a^{2}}{c} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$$.

A segunda diretriz é $$$x = h + \frac{a^{2}}{c} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$$.

A primeira assíntota é $$$y = - \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = - x$$$.

A segunda assíntota é $$$y = \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = x$$$.

Os interceptos em x podem ser encontrados definindo $$$y = 0$$$ na equação e resolvendo em relação a $$$x$$$ (para as etapas, consulte calculadora de interceptos).

interceptos em x: $$$\left(-1, 0\right)$$$, $$$\left(1, 0\right)$$$

As interseções com o eixo y podem ser encontradas definindo $$$x = 0$$$ na equação e resolvendo para $$$y$$$: (para os passos, veja calculadora de interceptos).

Como não existem soluções reais, não há interseções com o eixo y.

Forma padrão/equação: $$$\frac{x^{2}}{1^{2}} - \frac{y^{2}}{1^{2}} = 1$$$A.

Forma/equação de vértice: $$$x^{2} - y^{2} = 1$$$A.

Forma/equação geral: $$$x^{2} - y^{2} - 1 = 0$$$A.

Primeira forma/equação foco-diretriz: $$$\left(x + \sqrt{2}\right)^{2} + y^{2} = 2 \left(x + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}$$$A.

Segunda forma/equação foco-diretriz: $$$\left(x - \sqrt{2}\right)^{2} + y^{2} = 2 \left(x - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}$$$A.

Gráfico: veja a calculadora gráfica.

Centro: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

Primeiro foco: $$$\left(- \sqrt{2}, 0\right)\approx \left(-1.414213562373095, 0\right)$$$A.

Segundo foco: $$$\left(\sqrt{2}, 0\right)\approx \left(1.414213562373095, 0\right)$$$A.

Primeiro vértice: $$$\left(-1, 0\right)$$$A.

Segundo vértice: $$$\left(1, 0\right)$$$A.

Primeiro co-vértice: $$$\left(0, -1\right)$$$A.

Segundo co-vértice: $$$\left(0, 1\right)$$$A.

Comprimento do eixo maior (transverso): $$$2$$$A.

Comprimento do semieixo maior: $$$1$$$A.

Comprimento do eixo menor (conjugado): $$$2$$$A.

Comprimento do semieixo menor: $$$1$$$A.

Primeiro lado reto: $$$x = - \sqrt{2}\approx -1.414213562373095$$$A.

Segundo lado reto: $$$x = \sqrt{2}\approx 1.414213562373095$$$A.

Extremidades do primeiro lado reto: $$$\left(- \sqrt{2}, -1\right)\approx \left(-1.414213562373095, -1\right)$$$, $$$\left(- \sqrt{2}, 1\right)\approx \left(-1.414213562373095, 1\right)$$$A.

Extremidades do segundo lado reto: $$$\left(\sqrt{2}, -1\right)\approx \left(1.414213562373095, -1\right)$$$, $$$\left(\sqrt{2}, 1\right)\approx \left(1.414213562373095, 1\right)$$$A.

Comprimento dos lados retos (largura focal): $$$2$$$A.

Parâmetro focal: $$$\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707106781186548$$$A.

Excentricidade: $$$\sqrt{2}\approx 1.414213562373095$$$A.

Excentricidade linear (distância focal): $$$\sqrt{2}\approx 1.414213562373095$$$A.

Primeira diretriz: $$$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}\approx -0.707106781186548$$$A.

Segunda diretriz: $$$x = \frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707106781186548$$$A.

Primeira assíntota: $$$y = - x$$$A.

Segunda assíntota: $$$y = x$$$A.

Interseções com o eixo x: $$$\left(-1, 0\right)$$$, $$$\left(1, 0\right)$$$A.

interseções com o eixo y: sem interceptos no eixo y.

Domínio: $$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, \infty\right)$$$A.

Imagem: $$$\left(-\infty, \infty\right)$$$A.