Hyperbelin $$$x^{2} - y^{2} = 1$$$ ominaisuudet

Määritä hyperbelin $$$x^{2} - y^{2} = 1$$$ keskipiste, polttopisteet, kärjet, sivukärjet, suuren akselin pituus, puolisuuren akselin pituus, pienen akselin pituus, puolipienen akselin pituus, polttosivut, polttosivujen pituus (focal width), polttoparametri, eksentrisyys, lineaarinen eksentrisyys (polttopiste-etäisyys), johtosuorat, asymptootit, x-akselin leikkauspisteet, y-akselin leikkauspisteet, määrittelyjoukko ja arvojoukko.

Hyperbelin yhtälö on $$$\frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} - \frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} = 1$$$, missä $$$\left(h, k\right)$$$ on keskipiste ja $$$a$$$ ja $$$b$$$ ovat suuren ja pienen puoliakselin pituudet.

Hyperbelimme on tässä muodossa $$$\frac{\left(x - 0\right)^{2}}{1} - \frac{\left(y - 0\right)^{2}}{1} = 1$$$.

Siis, $$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 1$$$, $$$b = 1$$$.

Standardimuoto on $$$\frac{x^{2}}{1^{2}} - \frac{y^{2}}{1^{2}} = 1$$$.

Huippumuoto on $$$x^{2} - y^{2} = 1$$$.

Yleinen muoto on $$$x^{2} - y^{2} - 1 = 0$$$.

Lineaarinen eksentrisyys (polttopisteen etäisyys) on $$$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{2}$$$.

Eksentrisyys on $$$e = \frac{c}{a} = \sqrt{2}$$$.

Ensimmäinen polttopiste on $$$\left(h - c, k\right) = \left(- \sqrt{2}, 0\right)$$$.

Toinen polttopiste on $$$\left(h + c, k\right) = \left(\sqrt{2}, 0\right)$$$.

Ensimmäinen kärkipiste on $$$\left(h - a, k\right) = \left(-1, 0\right)$$$.

Toinen kärkipiste on $$$\left(h + a, k\right) = \left(1, 0\right)$$$.

Ensimmäinen apukärkipiste on $$$\left(h, k - b\right) = \left(0, -1\right)$$$.

Toinen apukärki on $$$\left(h, k + b\right) = \left(0, 1\right)$$$.

Suuren akselin pituus on $$$2 a = 2$$$.

Pieniakselin pituus on $$$2 b = 2$$$.

Fokaaliparametri on polttopisteen ja johtosuoran välinen etäisyys: $$$\frac{b^{2}}{c} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$$.

Latera recta ovat sivuakselin suuntaiset suorat, jotka kulkevat polttopisteiden kautta.

Ensimmäinen suoramitta on $$$x = - \sqrt{2}$$$.

Toinen latus rectum on $$$x = \sqrt{2}$$$.

Ensimmäisen latus rectumin päätepisteet voidaan löytää ratkaisemalla yhtälöryhmän $$$\begin{cases} x^{2} - y^{2} - 1 = 0 \\ x = - \sqrt{2} \end{cases}$$$ (vaiheet: katso system of equations calculator).

Ensimmäisen latus rectumin päätepisteet ovat $$$\left(- \sqrt{2}, -1\right)$$$, $$$\left(- \sqrt{2}, 1\right)$$$.

Toisen johtojänteen päätepisteet voidaan löytää ratkaisemalla järjestelmä $$$\begin{cases} x^{2} - y^{2} - 1 = 0 \\ x = \sqrt{2} \end{cases}$$$ (vaiheista, katso yhtälöryhmälaskin).

Toisen latus rectumin päätepisteet ovat $$$\left(\sqrt{2}, -1\right)$$$, $$$\left(\sqrt{2}, 1\right)$$$.

Latera recta -jänteiden pituus (fokaalileveys) on $$$\frac{2 b^{2}}{a} = 2$$$.

Ensimmäinen johtosuora on $$$x = h - \frac{a^{2}}{c} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$$.

Toinen johtosuora on $$$x = h + \frac{a^{2}}{c} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$$.

Ensimmäinen asymptootti on $$$y = - \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = - x$$$.

Toinen asymptootti on $$$y = \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = x$$$.

x-akselin leikkauspisteet voidaan löytää asettamalla $$$y = 0$$$ yhtälöön ja ratkaisemalla $$$x$$$:n suhteen (vaiheet: katso leikkauspisteiden laskin).

x-akselin leikkauspisteet: $$$\left(-1, 0\right)$$$, $$$\left(1, 0\right)$$$

Y-akselin leikkauspisteet voidaan löytää asettamalla $$$x = 0$$$ yhtälöön ja ratkaisemalla $$$y$$$:n suhteen: (vaiheittaiset ohjeet, ks. leikkauspisteiden laskin).

Koska reaalisia ratkaisuja ei ole, y-akselin leikkauspisteitä ei ole.

Standardimuoto/yhtälö: $$$\frac{x^{2}}{1^{2}} - \frac{y^{2}}{1^{2}} = 1$$$A.

Huippumuoto/yhtälö: $$$x^{2} - y^{2} = 1$$$A.

Yleinen muoto/yhtälö: $$$x^{2} - y^{2} - 1 = 0$$$A.

Ensimmäinen polttopiste-johtosuoraesitys/yhtälö: $$$\left(x + \sqrt{2}\right)^{2} + y^{2} = 2 \left(x + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}$$$A.

Toinen polttopiste-johtosuora-muoto/yhtälö: $$$\left(x - \sqrt{2}\right)^{2} + y^{2} = 2 \left(x - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}$$$A.

Kuvaaja: katso graphing calculator.

Keskipiste: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

Ensimmäinen polttopiste: $$$\left(- \sqrt{2}, 0\right)\approx \left(-1.414213562373095, 0\right)$$$A.

Toinen polttopiste: $$$\left(\sqrt{2}, 0\right)\approx \left(1.414213562373095, 0\right)$$$A.

Ensimmäinen kärkipiste: $$$\left(-1, 0\right)$$$A.

Toinen kärkipiste: $$$\left(1, 0\right)$$$A.

Ensimmäinen sivukärkipiste: $$$\left(0, -1\right)$$$A.

Toinen sivukärkipiste: $$$\left(0, 1\right)$$$A.

Pääakselin (poikittaisakselin) pituus: $$$2$$$A.

Puolisuuren akselin pituus: $$$1$$$A.

Sivuakselin (konjugaattiakselin) pituus: $$$2$$$A.

Pienen puoliakselin pituus: $$$1$$$A.

Ensimmäinen latus rectum: $$$x = - \sqrt{2}\approx -1.414213562373095$$$A.

Toinen latus rectum: $$$x = \sqrt{2}\approx 1.414213562373095$$$A.

Ensimmäisen johtojänteen päätepisteet: $$$\left(- \sqrt{2}, -1\right)\approx \left(-1.414213562373095, -1\right)$$$, $$$\left(- \sqrt{2}, 1\right)\approx \left(-1.414213562373095, 1\right)$$$A.

Toisen polttojanan päätepisteet: $$$\left(\sqrt{2}, -1\right)\approx \left(1.414213562373095, -1\right)$$$, $$$\left(\sqrt{2}, 1\right)\approx \left(1.414213562373095, 1\right)$$$A.

Latera recta -pituus (fokaalileveys): $$$2$$$A.

Fokaaliparametri: $$$\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707106781186548$$$A.

Eksentrisyys: $$$\sqrt{2}\approx 1.414213562373095$$$A.

Lineaarinen eksentrisyys (fokaalietäisyys): $$$\sqrt{2}\approx 1.414213562373095$$$A.

Ensimmäinen johtosuora: $$$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}\approx -0.707106781186548$$$A.

Toinen johtosuora: $$$x = \frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707106781186548$$$A.

Ensimmäinen asymptootti: $$$y = - x$$$A.

Toinen asymptootti: $$$y = x$$$A.

x-akselin leikkauspisteet: $$$\left(-1, 0\right)$$$, $$$\left(1, 0\right)$$$A.

y-akselin leikkauspisteet: ei y-akselin leikkauspisteitä.

Määrittelyjoukko: $$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, \infty\right)$$$A.

Arvojoukko: $$$\left(-\infty, \infty\right)$$$A.