雙曲線 $$$x^{2} - y^{2} = 1$$$ 的性質

求雙曲線 $$$x^{2} - y^{2} = 1$$$ 的中心、焦點、頂點、副頂點、長軸長度、長半軸長度、短軸長度、短半軸長度、通徑、通徑的長度（焦寬）、焦參數、離心率、線性離心率（焦距）、準線、漸近線、x 軸截距、y 軸截距、定義域與值域。

雙曲線的方程為 $$$\frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} - \frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} = 1$$$，其中 $$$\left(h, k\right)$$$ 為中心，$$$a$$$ 和 $$$b$$$ 分別是半長軸與半短軸的長度。

我們的雙曲線在此形式下為 $$$\frac{\left(x - 0\right)^{2}}{1} - \frac{\left(y - 0\right)^{2}}{1} = 1$$$。

因此，$$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 1$$$, $$$b = 1$$$。

標準形式為 $$$\frac{x^{2}}{1^{2}} - \frac{y^{2}}{1^{2}} = 1$$$。

頂點式為 $$$x^{2} - y^{2} = 1$$$。

一般式為 $$$x^{2} - y^{2} - 1 = 0$$$。

線離心距（半焦距）為 $$$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{2}$$$。

離心率為 $$$e = \frac{c}{a} = \sqrt{2}$$$。

第一焦點為$$$\left(h - c, k\right) = \left(- \sqrt{2}, 0\right)$$$。

第二個焦點是$$$\left(h + c, k\right) = \left(\sqrt{2}, 0\right)$$$。

第一個頂點為 $$$\left(h - a, k\right) = \left(-1, 0\right)$$$。

第二個頂點為 $$$\left(h + a, k\right) = \left(1, 0\right)$$$。

第一個副頂點為 $$$\left(h, k - b\right) = \left(0, -1\right)$$$。

第二個副頂點為 $$$\left(h, k + b\right) = \left(0, 1\right)$$$。

長軸的長度為 $$$2 a = 2$$$。

短軸的長度為 $$$2 b = 2$$$。

焦準距是焦點與準線之間的距離: $$$\frac{b^{2}}{c} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$$.

準弦是與短軸平行並通過焦點的直線。

第一條準弦是 $$$x = - \sqrt{2}$$$。

第二條準通徑為 $$$x = \sqrt{2}$$$。

第一條準通徑的端點可透過解方程組 $$$\begin{cases} x^{2} - y^{2} - 1 = 0 \\ x = - \sqrt{2} \end{cases}$$$ 求得（步驟請參見 方程組計算器）。

第一條通徑的端點為 $$$\left(- \sqrt{2}, -1\right)$$$, $$$\left(- \sqrt{2}, 1\right)$$$。

第二條通徑的端點可由解聯立方程組 $$$\begin{cases} x^{2} - y^{2} - 1 = 0 \\ x = \sqrt{2} \end{cases}$$$ 求得（步驟請參見 聯立方程組計算器）。

第二條通徑的端點為 $$$\left(\sqrt{2}, -1\right)$$$, $$$\left(\sqrt{2}, 1\right)$$$。

準通徑（焦點弦）的長度為 $$$\frac{2 b^{2}}{a} = 2$$$。

第一條準線為 $$$x = h - \frac{a^{2}}{c} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$$。

第二條準線為 $$$x = h + \frac{a^{2}}{c} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$$。

第一條漸近線為 $$$y = - \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = - x$$$。

第二條漸近線為 $$$y = \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = x$$$。

可透過在方程中令 $$$y = 0$$$，並求解 $$$x$$$，來求得 x 截距（步驟請見 intercepts calculator）。

x 軸截距: $$$\left(-1, 0\right)$$$, $$$\left(1, 0\right)$$$

y 軸截距可透過將$$$x = 0$$$代入方程並解出$$$y$$$來求得：（步驟請參見 截距計算器）。

由於沒有實數解，因此沒有 y 軸截距。

標準式/方程式: $$$\frac{x^{2}}{1^{2}} - \frac{y^{2}}{1^{2}} = 1$$$A.

頂點式/方程式：$$$x^{2} - y^{2} = 1$$$A。

一般式/方程式: $$$x^{2} - y^{2} - 1 = 0$$$A.

第一組焦點-準線形式/方程式：$$$\left(x + \sqrt{2}\right)^{2} + y^{2} = 2 \left(x + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}$$$A。

第二焦點-準線形式/方程：$$$\left(x - \sqrt{2}\right)^{2} + y^{2} = 2 \left(x - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}$$$A

圖形：請參見繪圖計算器。

中心：$$$\left(0, 0\right)$$$A。

第一焦點：$$$\left(- \sqrt{2}, 0\right)\approx \left(-1.414213562373095, 0\right)$$$A。

第二焦點：$$$\left(\sqrt{2}, 0\right)\approx \left(1.414213562373095, 0\right)$$$A。

第一個頂點：$$$\left(-1, 0\right)$$$A。

第二個頂點: $$$\left(1, 0\right)$$$A.

第一個共頂點：$$$\left(0, -1\right)$$$A。

第二個副頂點：$$$\left(0, 1\right)$$$A。

長（實）軸長度：$$$2$$$A。

長半軸長度：$$$1$$$A。

短 (共軛) 軸長: $$$2$$$A.

短半軸長度：$$$1$$$A。

第一準弦：$$$x = - \sqrt{2}\approx -1.414213562373095$$$A。

第二條通徑：$$$x = \sqrt{2}\approx 1.414213562373095$$$A。

第一條通徑的端點：$$$\left(- \sqrt{2}, -1\right)\approx \left(-1.414213562373095, -1\right)$$$, $$$\left(- \sqrt{2}, 1\right)\approx \left(-1.414213562373095, 1\right)$$$A。

第二條準弦的端點：$$$\left(\sqrt{2}, -1\right)\approx \left(1.414213562373095, -1\right)$$$, $$$\left(\sqrt{2}, 1\right)\approx \left(1.414213562373095, 1\right)$$$A。

準弦的長度（焦寬）：$$$2$$$A。

焦點參數：$$$\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707106781186548$$$A。

離心率：$$$\sqrt{2}\approx 1.414213562373095$$$A。

離心距（焦點距離）：$$$\sqrt{2}\approx 1.414213562373095$$$A。

第一準線：$$$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}\approx -0.707106781186548$$$A。

第二準線：$$$x = \frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707106781186548$$$A。

第一條漸近線：$$$y = - x$$$A。

第二條漸近線：$$$y = x$$$A。

x 軸截距：$$$\left(-1, 0\right)$$$, $$$\left(1, 0\right)$$$A。

y 軸截距：沒有 y 軸截距。

定義域: $$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, \infty\right)$$$A.

值域：$$$\left(-\infty, \infty\right)$$$A。